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1、第17节 等腰三角形、等边三角形、直角三角形,考 点 突 破,课 前 预 习,第1课时 等腰三角形、等边三角形,垂直平分线,考 点 梳 理,三,60,考 点 梳 理,一半,中线,直角,一半,考 点 梳 理,课 前 预 习,1.（2014黔西南州）已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A21 B20C19 D18,解析：8+8+5=16+5=21故这个三角形的周长为21,A,2.（2014新疆）如图，在ABC中，AB=AC，A=40，点D在AC上，BD=BC，则ABD的度数是,解析：AB=AC，A=40，ABC=C=（180-40）=70，BD=BC，CBD=1
2、80-702=40，ABD=ABC-CBD=70-40=30,30,课 前 预 习,3.如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E=度,解析：ABC是等边三角形，ACB=60，ACD=120，CG=CD，CDG=30，FDE=150，DF=DE，E=15,15,课 前 预 习,4.（2014襄阳）如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明
3、过程,解析：（1）由，两个条件可以判定ABC是等腰三角形，（2）先求出ABC=ACB，即可证明ABC是等腰三角形,答案：解：（1）；（2）选证明如下，OB=OC，OBC=OCB，EBO=DCO，又ABC=EBO+OBC，ACB=DCO+OCB，ABC=ACB，ABC是等腰三角形,考点1 等腰、等边三角形的判定和性质,考 点 突 破,1.（2008广东）如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF（1）求证：（2）若四边形BDFE的面积为8，求AEF的面积,解析：（1）由题意可推出ADC为等腰三角形，CF为顶角的角平分线，所以也
4、是底边上的中线和高，因此F为AD的中点，所以EF为ABD的中位线，即；（2）根据（1）的结论，可以推出AEFABD，且SAEF：SABD=1：4，所以SAEF：S四边形BDEF=1：3，即可求出AEF的面积,考 点 突 破,答案：解：（1）DC=AC，ACB的平分线CF交AD于F，F为AD的中点，点E是AB的中点，EF为ABD的中位线，,（2）EF为ABD的中位线，EFBD，AEFABD，SAEF：SABD=1：4，SAEF：S四边形BDEF=1：3，四边形BDFE的面积为8，SAEF=,考 点 突 破,2.（2010广东）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图1放置，点B、D重合，
5、点F在BC上，AB与EF交于点GC=EFB=90，E=ABC=30，AB=DE=4求证：EGB是等腰三角形,解析：根据题意，即可发现EBG=E=30，从而证明结论,答案：证明：C=EFB=90，E=ABC=30，EBF=60，EBG=EBFABC=6030=EGE=GB，则EGB是等腰三角形,考 点 突 破,3.（2008广东）已知等边三角形ABC的边长为3+，则ABC的周长是,解析：解：在等边三角形中，三条边长相等，所以周长为三条边长的和，即：3（3+）=,考 点 突 破,4.（2007广东）已知等边OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边OA1B1，A1B1与OB相交
6、于点A2（1）求线段OA2的长；（2）若再以OA2为边，按逆时针方向作等边OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到OA3B3，OA4B4，OAnBn（如图）求OA6B6的周长,解析：在等边三角形中，由勾股定理可求得其一边上的高与边长的关系，根据图形的变化规律即可求解,考 点 突 破,答案：解：（1）OA2=OA1=（OA）=OA=a（2）依题意，OA1=OA，OA2=OA1=（）2OAOA3=OA2=（）3OA以此类推，OA6=（）6OA=OA=a即OA6B6的周长=3OA6=a,考 点 突 破,5.已知，如图，在ABC中，AB=BC，ABC=90度F为AB延长线上一点
7、，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF（1）求证：AE=CF；（2）若CAE=30，求EFC的度数,解析：根据已知利用SAS判定ABECBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得EFC的度数,考 点 突 破,答案：（1）证明：在ABE和CBF中，ABECBF（SAS）AE=CF（2）解：AB=BC，ABC=90，CAE=30，CAB=ACB=（180-90）=45，EAB=45-30=15ABECBF，EAB=FCB=15BE=BF，EBF=90，BFE=FEB=45EFC=180-90-15-45=30,考 点 突 破,6.如图：在RtABC中
8、，AB=AC，BAC=90，O为BC的中点（1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断OMN的形状，并证明你的结论,解析：（1）由于ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA=OB=OC=BC；（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，CAO=B=45，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS证得AONBOM可得：ON=OM NOA=MOB，于是有，NOM=AOB=90，所以OMN是等腰直角三角形,考 点 突 破
9、,答案：解：（1）在RtABC中，BAC=90，O为BC的中点，OA=BC=OB=OC，即OA=OB=OC；（2）OMN是等腰直角三角形理由如下：连接AOAC=AB，OC=OB OA=OB，NAO=B=45，在AON与BOM中AONBOM（SAS）ON=OM，NOA=MOBNOA+AOM=MOB+AOMNOM=AOB=90，OMN是等腰直角三角形,考 点 突 破,7.如图，ABC是等边三角形，D，F分别是BC，AB上的点，且BD=AF，AD，CF交于点E，则CED=度,解析：ABC是等边三角形，ABD=CAF=60，AB=CA，在ABD和CAF中，ABDCAF（SAS），ACF=BAD（全等三
10、角形的对应角相等）；又CED=ACF+EAC（外角定理），CED=CAF=60,60,考 点 突 破,8.如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由,考 点 突 破,解析：（1）由ABC是边长为6的等边三角形，可知ACB=60，再由BQD=30可知QPC=90，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在R
11、tQCP中，BQD=30，PC=QC，即6-x=（6+x），求出x的值即可；,考 点 突 破,解析：（2）作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变,考 点 突 破,答案：解：（1）ABC是边长为6的等边三角形，ACB=60，BQD=30，QPC=90，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，Q
12、C=QB+BC=6+x，在RtQCP中，BQD=30，PC=QC，即6-x=（6+x），解得x=2，AP=2；,考 点 突 破,答案：解：（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变理由如下：作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又PEAB于E，DFQ=AEP=90，点P、Q速度相同，AP=BQ，ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60，在APE和BQF中，AEP=BFQ=90，APE=BQF，在APE和BQF中，APEBQF（AAS），AE=BF，PE=QF且PEQF，四边形PEQF是平行四边形，DE=EF，EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，又等边ABC的边长为
13、6，DE=3，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变,考 点 突 破,考点归纳：本考点曾在20072008、20102011年广东省市考试中考查，为高频考点.考查难度中等，为中等难度题，解答的关键是掌握其判定和性质.本考点应注意掌握的知识点：在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的作法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60的角判定,谢谢！,
