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1、表示统计资料的特征数有哪些？几何平均数与调和平均数各适合于什么情况？计算样本方差与总体方差公式有何区别？,统计资料的三类特征数表示集中位置的特征数表示变异(或分散)程度的特征数表示偏倚程度的特征数,3.1 表示集中位置的特征数,3.1.1 平均数,算术平均数（Arithmetic average）,几何平均数（Geometric Mean）,调和平均数（Harmonic Mean）,定义：一组n个观测值x1,x2,，xn的算术平均数，定义为,(1)算术平均数（Arithmetic average）,如果资料已经分组，组数为k，用x1,x2,，xk 表示各组中点(平均值)，f1，f2,fk 表示
2、相应的频数，那么,(1)算术平均数（Arithmetic average）,表3-1 某校125位大学一年级新生体重表,(1)算术平均数（Arithmetic average）,其平均体重：,(1)算术平均数（Arithmetic average）,(1)算术平均数（Arithmetic average）,证明：,(1)算术平均数（Arithmetic average）,在数据为环比类型的问题中(例如，人口增长率或是金融投资利息率)，算术平均数是不适用的。例如下表是天津市工业总产值在“十五”期间的逐年增长率，如求该期间平均增长率，算术平均数是不恰当的。几何平均数可以解决这个问题。,(2)几何平
3、均数（Geometric Mean）,表3-2 天津市工业总产值,（天津市2005统计年鉴）,(2)几何平均数（Geometric Mean）,定义:一组n个数据的几何平均数定义为,(2)几何平均数（Geometric Mean）,性质：设观测数据为(上例中为各年的工业总产值)，令则由，得,(2)几何平均数（Geometric Mean）,(2)几何平均数（Geometric Mean）,表 黑龙江省粮食总产量,(2)几何平均数（Geometric Mean）,由公式：,可得：,依次为11.48，10.5，10.49,10.66，10.30，11.52，11.16.,代入公式（n=7）：,得,
4、过去7年黑龙江省粮食总产值年均增长率为10.86%,当数据是相对变化率(行程问题，相对价格)，求平均数时，算术平均数也不恰当。例如：甲乙两地相距120公里，某人乘车往返甲乙两地之间，去时速度每小时20公里，回来时速度为每小时30公里，若求平均速度，这时用算术平均数是不对的，但调和平均数可解决此类问题。,(3)调和平均数,在上例中，,（公里/小时）,定义：,一组n个数据 的调和平均数H，由下式定义:,(3)调和平均数,(3)调和平均数,例：设有三种水果，水果甲为1元/公斤，乙为1.5元/公斤，丙为2元/公斤，若各买一公斤，则水果的平均价格是多少？,解：,算术平均数表示了集中位置特征，它照顾到每一
5、个值，但它不见得是出现次数最多的值（甚至也可能不是观测值中的一个）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征数。,众数（Mode）,定义：对于有频数分布的变量，它的众数指频数最大的变量的值。,表3-3 频数分布表,对于已分组且等组距的频数分布，根据最大频数，可求得众数所在组。根据众数定义，可知众数不唯一。,众数（Mode）,算术平均数作为集中位置的特征还有一缺点，就是受观测值中极端值的影响很大，而一组观测值中的极端值常常没有代表性。中位数将避免这种影响。,3.1.3 中位数（Median）,一组n个观测值按数值大小排列，处于中央位置的值称为中位数，用 表示，,，当n为奇数,，当n为偶数,定义：,
6、即,3.1.3 中位数（Median）,(1)一组观测值中，小于和大约中位数的个数相等(无重复的情况下)。(2)绝对离差之和，即当 时取最小值。,性质：,第25百分位数又称第一个四分位数（First Quartile）,用Q1 表示；第50百分位数又称第二个四分位数（Second Quartile），用Q2表示；第75百分位数又称第三个四分位数（Third Quartile）,用Q3表示。,中位数是第50百分位数,一组n个观测值按数值大小排列如x1,x2,x3,x4处于p%位置的值称第p百分位数。,定义：,3.1.4 百分位数（Percentile）,第p百分位数是这样一个值，它使得至少有p%
7、的数据项小于或者等于这个值，至少有(100-p)%的数据项大于或者等于这个值。,如何计算百分位数,3.1.5 四分位数(Quartile),人们经常将数据划分为四个部分，每一个部分大约包含有四分之一，即25%的数据。这种划分的临界点即为四分位数，分别称为第一个四分位数，第二个四分位数和第三个四分位数。即四分位数分别定义为第25、第50、第75百分位数，因此，其计算方法和百分位数的计算相同。,算例 对12个月薪数据的样本，按照递增顺序排列如下：2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 试计算Q1，Q2，Q3。以Q1为例
8、，计算i=np%，其中n=12,p=25,则i=3，所以，Q1=1/2(2350+2380)=2365 同样算得Q2=2405，Q3=2500,3.2 表示变异（分散）程度的特征数,定义 其中xmax和xmin分别为数据中的极大值和极小值。四分位间距(Quartile deviation)能够克服极端值影响的一种衡量变异程度的量度是四分位间距(IQR)。定义 IQR=Q3-Q1,极差（或称全距 Range）R,对于已分组的频数分布（组数为k）,定义,平均差M.D.是离差()的绝对值的平均数，即,3.2.3 平均差（Mean Absolute Deviation）,3.2.3 平均差（Mean
9、Absolute Deviation）,对已知分组频数的平均差(k组),其中,3.2.3 平均差（Mean Absolute Deviation）,例：已知职工工资的分组数据如下表，计算平均差。,则,方差,样本,对于已分组的频数分布（组数为k）,总体,样本,总体,3.2.4 方差（Variance），标准差（Standard Deviation）,标准差,样本标准差,总体标准差,样本标准差,总体标准差,对于已分组的频数分布（组数为k）,3.2.4 方差（Variance），标准差（Standard Deviation）,例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集
10、的数据如下：根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？解：根据已知数据，计算 因此，该机器工作正常。,3.2.4 方差（Variance），标准差（Standard Deviation）,定义 变异系数C,是一个无量纲的量。它适于用在比较有不同算术平均数或有不同量纲的两组数据的情况。例如比较大学生身高与小学生身高，或比较130名大学生身高和体重哪个变化波动范围比较大时，都可用变异系数。,变异系数（Coefficient of Variation）,例如：考虑某两个班的成绩变异情况A:平均成绩为80,标准差为10B:平均
11、成绩为40,标准差为8 初看起来，A班的标准差较大，较为不整齐，若把平均值考虑进去，则其实A班的成绩较为整齐。即，CA=10/80=1/8CB=8/40=1/5。,变异系数（Coefficient of Variation）,比较众数、中位数和算术平均数的相对位置,下图列举出了对称的、具有左偏态（负偏态）和右偏态（正偏态）的频数分布的例子。注意到它们的特点是：,对称的分布的众数、中位数和算术平均数相同；,具有偏倚性的分布，算术平均数突出在外，偏向分布的尾端，而中位数则介于众数与算术平均数之间。,偏倚性是表示各观测值分布的不对称情况或程度。,3.3 表示偏倚情况或程度的特征数,图3-1,比较众数
12、、中位数和算术平均数的相对位置,MeMo,MeMo,=Me=Mo,可以看出，对于单峰的分布，,对称态：,左偏态：,右偏态：,比较众数、中位数和算术平均数的相对位置,（1）Pearson偏倚系数,Pearson,分布对称，则k=0,左偏态，则k0,右偏态，则k0,3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的两个公式,（2）用标准化的三阶矩阵g表示,3.3.2 定量地描述偏倚性，常用的两个公式,3.4 五数概括法,首先将数据按递增顺序排列，然后很容易就能确定最小值、3个四分位数和最大值了。对12个月薪数据的样本，按照递增顺序排列如下：2210 2255 2350|2380 2380 2390|2420 2
13、440 2450|2550 2630 2825 Q12365 Q22405 Q32500上述起薪数据以五数概括为：2210，2365，2405，2500，2825。,3.4 五数概括法,盒形图实际上是以图形来概括数据。关键是计算中位数和四分位数Q1和Q3。此外还将用到四分位数间距IQRQ3Q1。盒形图的画法步骤如下：（1）画一个方盒，其边界恰好是第1和第3四分位数。对于上述的起薪数据，Q12365，Q32500。这个方盒包含了中间的50的数据。（2）在方盒上中位数的位置画一条垂线（对起薪数据，中位数为2405）。因此中位数将数据分为相等的两个部分。,3.5 盒形图,（3）利用四分位数间距IQR=Q3Q1，来设定界限。盒形图的界限定于低于Q1以下1.5个IQR和高于Q3以上1.5个IQR的位置。上、下限以外的数值作为异常值。即：Q1-1.5IQR=2162.5;Q3+1.5IQR=2702.5（4）在图32中的横线叫做须线（whisker），须线从方盒的边线出发，直至在上、下限之内的最大值和最小值。即：min=2210，max=2630（5）最后，任一异常值的位置以符号“”标出。即：2825,3.5 盒形图,盒形图例图,图3-2,3.5 盒形图,
