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1、第七节、斯托克斯公式与旋度,一、斯托克斯(stokes)公式,二、空间曲线积分与路径无关的条件,三、环流量与旋度,四、向量微分算子,一、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,是有向曲面 的正向边界曲线,右手法则,证明,如图,思路,曲面积分,二重积分,曲线积分,1,2,1,根椐格林公式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可,通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,证毕,另一种形式
2、,便于记忆形式,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,例1.利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整个,解:记三角形域为,取上侧,则,边界,方向如图所示.,利用对称性,解,则,例2,即,例3.为柱面,与平面 y=z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针,计算,解:设为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设 G 是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:,(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有,(2)对G内
3、任一分段光滑曲线,与路径无关,(3)在G内存在某一函数 u,使,(4)在G内处处有,证:,由斯托克斯公式可知结论成立;,(自证),设函数,则,同理可证,故有,若(3)成立,则必有,因P,Q,R 一阶偏导数连续,故有,同理,证毕,对(3)在G中存在函数，使得曲线积分 中的被积分式为的全微分，即：,并且有,与路径无关,并求函数,解:令,积分与路径无关,因此,例4.验证曲线积分,设力场为,证明：该力场为保守力场，并求场对质点M沿任何一路径L从点 到点 所作的功W解：,从而沿任何必路L所作的功为零，即,例5,从而证明其为保守力场，此力场所作的功W只与始点和终点有关，而与路径无关，因此有,三、环流量与旋
4、度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,令,引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式:,旋度.,rotation,向量场A的环量表示质点在A作用下沿闭合曲线的旋转情况,环量面密度：P104定义10.7,利用斯托克斯公式和第一类曲面积分的中值定理可得环量面密度在直角坐标系中的计算公式：,显然环量面密度为一个与方向有关的数量,环量面密度公式与数量场在一点处沿某方向的方向导数类似；,不妨将计算公式中的三个数看作某个向量 的三个坐标，,并注意到R在给定点M是一个固定的向量，从而M处沿,方向的环量面密度可以写成：,在给定点
5、M处，R在任一方向上的投影，给出该方向上的环量面密度。即：的方向为点M处环量面密度取得最大值的方向，其模即为环量面密度的最大值。从而 就是要找的那个向量。称该向量为向量场 在点M处的旋度。,设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,Stokes公式的物理解释:,例6.,求电场强度,的旋度.,解:,(除原点外),这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.,的外法向量,计算,解:,例7.设,四、向量微分算子,定义向量微分算子:,它又称为(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.,则,则,高斯公式与斯托克斯公式可写成:,斯托克斯公式,场论中的三个重要概念,设,梯度:,散度:,旋度:,则,思考与练习,则,提示:,三式相加即得,
