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1、,一、线性空间的基与维数,已知：在n维实向量空间中，线性无关的向量组最多由n个向量组成，而任意n+1个向量都是线性相关的,问题：线性空间的一个重要特征在线性空间 中，最多能有多少线性无关的向量？,当一个线性空间 中存在任意多个线性无关的向量时，就称 是无限维的,n维线性空间中任意n个线性无关的向量都是一组基,定义,二、元素在给定基下的坐标,注意,线性空间 的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的,例所有二阶实矩阵组成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间对于 中的矩阵,三、线性空间的同构,定义设 是两个线性空间，如果它们的元素之间有
2、一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那末就称线性空间 与 同构.,因为,形成一一对应关系；,则有,同维数的线性空间必同构,同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性,结论,数域 上任意两个 维线性空间都同构,保持零向量和负向量、相关性、基、子空间等,同构的意义,在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数,线性空间的基与维数；,线性空间的元素在给定基下的坐标；,坐标：（）把抽象的向量与具体的数组向量联系起来；,线性空间的同构,四、小结,（）把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来,作业,B 1,生成的子空间的基与维数.,思考题,思考题解答,子空间基扩充定理 设W是n维线性空间V的子空间，是W的一个基，那么该基必可扩充为整个线性空间V的基，即一定能找到n-m个向量，使它们成为V的一个基。,(子空间维数公式)设 是线性空间 的子空间，则,
