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1、4 正交矩阵,1.内积的概念,定义4.1 设有n维实向量,规定（，）=a1b1+a2b2+anbn,称（，）为向量与的内积。(1),4.1、实向量的内积与长度,2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。,列向量：(,)=T;,行向量：(,)=T。,2.内积的性质：,设，为n 维实向量，为实数。,性质1(,)=(,);,性质2(,)=(,);,性质3(+,)=(,)+(,)；,1）内积是一个数（或是一个多项式）。,性质4 当 0时，(,)0。,显然，(0,0)=0，由此便知实向量=0 的充分 必要条件 是(,)=0。,3.向量的范数与夹角,1）向量的范数(长度),定义4.2 令,称x为n维向量x
2、的范数。,2）范数的性质,i）非负性 当x 0 时,x0；当 x=0时,x=0；,ii）齐次性 x=x；,3）单位向量,为单位向量。,称x=1时的向量x为单位向量。任意 0,P136 4.2 正交向量组,定义4.3 设 x、y 为n实维向量,当（x,y）=0时，称x与y正交。记作xy。,若x=0,则 x 与任何向量都正交。反之，若x 与任何向量都正交，则x=0.,定义4.4:如果一组非零向量两两正交，则称这组向量为正交向量组。简称为正交组。,如果一个向量组仅含一个向量，当 0时，则规定该向量组为正交组。,解 因为1,2,3均为非零向量,并且(1,2)=0,(1,3)=0,(2,3)=0,即1,
3、2,3两两正交，所以该向量组是正交组。,是否为正交向量组。,P136 例1 判断实向量组,取i(i=1,2,r)在上式的两端作内积。,（11+22+rr，i）=（0,i），,定理4.1 若n 维向量 1,2,r 是一组两两正交,11+22+rr=0,证明 设有,使,的非零向量,则1,2,r 线性无关。,(i=1,2,r)于是向量组 1,2,r 线性无关.,因 i0,故(i,i)=|i|2 0,从而 必有 i=0,亦即 ii,i=0。,ii,i=0，,从而,P136定义4.5 如果一个正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为一个单位正交向量组，简称单位正交组（或标准正交组、规范正交组）。
4、,由上述定义可知，n维实向量组1,2,s为单位正交组的充分必要条件是,显然n维基本向量组e1,e2,en是单位正交向量组。,把一组线性无关的实向量组1,2,s正交化，即求与1,2,s等价的正交向量组1,2,s是一项很有实用价值的工作，下面我们将介绍Schmidt逐步正交化方法。其具体步骤(参见书P137）,设,是线性无关的向量组，,即合所求的正交向量组。,例2 设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。,解 取,解:,1，2 应满足3Tx=0的非零解,即,它的基础解系为,取b1=1,则3 与1，2 正交，显然1与2 线性无关，因此可用施密特标准正交化.,令,再把 3单位化，得,4.3 正交
5、矩阵与正交变换,1.正交矩阵,定义4.6 如果n阶矩阵A满足,那么称A为正交矩阵.,将矩阵A按列分块,即,则 E。,亦即,这说明方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是 A的列向量都是两两正交的单位向量。同理可得方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是两两正交的单位向量。,定理4.2 n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行（列）向量都是两两正交的单位向量。,例4 设e1,e2,en是标准正交组，A为正交矩阵。试证Ae1,Ae2,Aen也是一个标准正交组。,证明 由于e1,e2,en是标准正交组，所以,故Ae1，Ae2，Aen也是一个标准正交组。,推论4.1 n阶实矩阵A为正交矩阵的
6、充分必要 条件是A-1=AT.,正交矩阵具有如下的性质：P140,性质1 若A是正交矩阵，则-A也是为正交矩阵；,性质2 若A是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵；,性质3 若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶 正交矩阵；,性质4 若A是正交矩阵，则必有|A|=1或|A|=-1。,性质5 若A是正交矩阵,则,2.正交变换 P140,定义4.7（修改）设P为正交矩阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换。,设 y=Px 为正交变换，则有,x表示向量长度,x=y说明经正交变换向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性。,1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化,小 结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,
