线性代数实践(教师班第8讲).ppt
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1、第8章 用向量空间解方程组,8.1 向量和向量空间 二维空间R2中的向量用两个沿列向的元素表示u=2;4;v=3;-1;plot(2,3,4,1,x);hold on%若用中的子程序drawvec,drawvec(u);hold ondrawvec(v,g);hold off,二维向量张成的空间,平面上的任何一点w1;w2是不是一定能用u和v的线性组合来实现?即是不是一定能找到一组常数c1,c2,使得c1,c2取所有可能的值,得到的w的集合就是u和v张成的子空间,在所给的u和v下,它是一个平面。若u和v两个向量的各元素成简单的比例关系,合成的向量只能在一根直线上,不可能张成整个二维平面。这种情
2、况下,称这两个向量u和v是线性相关的。,2三维空间中的向量,若v1,v2和v3都是三维空间的列向量。可以用空间坐标中的三个点,或从坐标原点引向这三点的箭头来表示。用矩阵代数表示如下如果三个基本向量之间线性无关,那么它们的线性组合可以覆盖(张成)整个三维空间。如果三个向量共面,即相关,就不能张成三维空间。判断三个向量的线性相关性,可用行列式。,三维空间向量的相关性,即看三向量并列所得矩阵的行列式det(A)=0 相关det(A)0 不相关行列式的几何意义:在二维是两个向量组成的平行四边形面积,在三维是三个向量组成的平行六面体的体积。,行列式的几何意义,二维三维det(A)=右图平行六面体的体积,
3、n维向量的相关性,在进入三维以上的空间时,已经没有可与面积、体积直接相当的概念可用了,所以采用了秩的概念。如果A的行列式为零,也就是它的秩r小于n时,说明这n个向量是线性相关的。秩的概念也概括了面积存在(r2)和体积存在(r3)的意义,因此,它是更高度的抽象。,8.2 向量空间和基向量,若r个向量是线性无关的,则它们的线性组合的全体V就构成了r维空间Rr。如果它不是空集,则V称为向量空间。生成V的r个线性无关的向量v称为基向量或基(Basis)。当rn时,给定的n个向量就是一组基。如果rn,那就要在n个向量中选出r个线性无关的向量。用秩的概念还无法判定哪些向量是线性无关的,这时又要藉助于把矩阵
4、简化为阶梯形式的方法。,例8.2 求四个五维向量的子空间,这四个向量组成的矩阵如右,对它进行行阶梯简化。程序为:A4,5,4,1;0,3,0,1;2,1,2,0;5,4,5,3;1,4,1,1U0,iprref(A)得到 ip=1,2,4其三个枢轴列对应的就是三个线性无关的列向量。,三个向量空间位置演示程序,三维空间中,为了观察三个向量的空间关系,ATLAST手册还提供了一个演示程序viewsubspaces(u,v,w),它用蓝色直线显示向量u,同时用红色显示v和w所组张成的平行四边形平面,画在同一张立体图上。例如:u=-1;1;8;v=5;-4;7;w=-3;1;-5;viewsubspa
5、ces(u,v,w),grid on 三个向量的起点都是xyz0的原点。要看清其几何意义,还是需要一定的空间想象力。,三个向量的空间关系,例8.3 w是否在v1,v2,v3的空间内,设w是否能由v1,v2,v3的线性组合构成的问题,取决于线性方程组解的存在性。v1=7;-4;-2;9;v2=-4;5;-1;-7;v3=9;4;4;-7;w=-9;7;1;-4;v=v1,v2,v3;c=vw%把基向量组成矩阵v求解也可以按det(v)是否为零进行判别,8.3 向量的内积和正交性,在三维空间中,x和y两个向量的内积定义为x,yx1y1x2y2x3y3。m维情况可以写成这是一个标量。向量x与自己求内
6、积:得到的是其各分量的平方和,其平方根就等于向量的长度(或模、或范数norm)。,内积的几何意义,在平面情况,两向量的内积除以它们的长度是它们夹角的余弦,可以利用下图证明。根据余弦定律,最后得到此结果可推广到高维空间,只是被抽象化了:,例8.4 基向量长度规一化和夹角,例8.4 求例8.3中的单位基向量v10,v20,v30,并分别求它们之间的夹角。解:解题的程序为ag822:v10=v1/norm(v1),v20=v2/norm(v2),v30=v3/norm(v1),theta12=acos(v1*v2)/(norm(v1)*norm(v2)theta13=acos(v1*v3)/(nor
7、m(v1)*norm(v3)theta23=acos(v3*v2)/(norm(v3)*norm(v2),正交基向量的生成,两向量x,y正交的条件是它们的内积为零。给出向量求正交基常用施密特算法,ATLAST手册中给出了相应的程序gschmidt。调用时键入Q,R=gschmidt(v),Q就是单位正交基向量e。MATLAB中不用施密特算法,而用更好的算法编成了正交分解子程序qr.m,它将v分解为Q和R两个矩阵的乘积。调用方法为:Q,Rqr(v)Q就是mm单位正交矩阵。,基向量正交化的schmidt公式,得到qi(i1,2,k)后,再把它们除以norm(qi),就可归一化为单位向量ek。,基向
8、量正交化的schmidt子程序,function Q,R=gschmidt(V)m,n=size(V);R=zeros(n);R(1,1)=norm(V(:,1);Q(:,1)=V(:,1)/R(1,1);for k=2:n R(1:k1,k)=Q(:,1:k1)*V(:,k);Q(:,k)=V(:,k)Q(:,1:k1)*R(1:k1,k);R(k,k)=norm(Q(:,k);Q(:,k)=Q(:,k)/R(k,k);end,求单位正交基向量的例,例8.5 对于例8.3的数据,求其规范化正交基向量e1,e2,en。解:程序为V7,4,9;4,5,4;2,1,4;9,7,7Q,Rqr(v)%
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