线性代数第一章复习.ppt

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1、1,第一章 行列式,1.1 二阶、三阶行列式1.2 n阶行列式1.3 行列式的性质1.4 行列式按行(列)展开1.5 克莱姆法则,2,1.1二阶、三阶行列式,历史点滴:行列式来源于线性方程组的求解1683年,日本数学家关孝和(Seki Takazu,1642-1768)在其专著中提出了行列式的概念与算法1750年,瑞士数学家克拉默(G.Cramer,1704-1752)提出了线性方程组的行列式解法“克拉默法则”1772年,法国数学家范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735-1851)首先将行列式理论系统化,被誉为行列式理论的奠基人现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱(A.Cayley

2、,1821-1895)于1841年引进的,.,3,二阶行列式,即实线连接的元之积减去虚线连接的元之积,4,三阶行列式,5,三阶行列式的对角线法则,注 1.红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号 2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列 3.三阶行列式含3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,三项为正,三项为负,.,6,例题与讲解,例2:计算三阶行列式:,解:,按对角线法则,,.,7,1.2 n阶行列式,排列:由自然数1,2,n 组成的一个有序数组称为一个n 级(元)排列。自然排列:n级排列123n 称为自然排列。,214,1314,不是排列,不是排列,n级排列中每个数

3、必须出现一次,n个数中不能有重复数,不能有大于n的数,54321,5级排列,3142,4级排列,8,逆序与逆序数:在一个n级排列中,若某个较大的数排在某个较小的数前面,就称这两个数构成一个逆序;一个排列中出现的逆序的总数,称为这个排列的逆序数,通常记为N(i1i2in)。排列的逆序数为偶数的称偶排列,排列的逆序数为奇数的称奇排列。,.,逆序数计算:从最左面的数开始算,计算每个数的左边比它大的数的个数,全部加起来。如排列 32514 的逆序数为N(32514)=2+1+2+0+0=5,9,对换:在一个n级排列j1 j2 ji jkjn 中,若仅将其中两个数ji、jk对调,其余不动,可得一个新的排

4、列j1 j2 jk jijn,这样的变换称为一次对换。定理:一次对换改变排列的奇偶性。即,则,奇偶性不同,与,若,10,对换性质的证明,思路:先证相邻元素的对换,再证明一般情况。,1.,除 外,其它元素的逆序数不改变.,当ab时,经对换后b的逆序数增加1,a的逆序数不变;,当ab时,经对换后b的逆序数不变,a的逆序数减少1;,2.,设排列为,现在对换a与b。,即总共经过2m+1次相邻对换,每次都要改变奇偶性。,所以,对换改变奇偶性.,.,11,奇、偶排列个数相等,定理2:在所有的n 级排列中(n1),共有n!个n级排列,奇排列与偶排列的个数相等,各为n!/2。证明:设在n!个n级排列中(n1)

5、,奇排列共有p个,偶排列共有q个,则 p+q=n!现对每一个奇排列施行一次对换,即,偶排列,奇排列,由此得p个偶排列,而偶排列数共有q个,故pq;,同理,对q个偶排列各做一次对换,可得q个奇排列,故有qp;所以p=q。,又因为p+q=n!,故 p=q=n!/2。,.,12,二阶、三阶行列式共性,有n!(n=2、3)项。,为所有不同行不同列的n个元素乘积的代数和。,每项符号取决于:当这一项中元的行标按自然数顺序排列后,对应的列标构成的排列为奇排列时为负,为偶排列时为正。,n 阶行列式的定义,13,定义1.2,n阶行列式,是所有取自不同行,不同列的n个数的乘积,即 n阶行列式的一般项为,其中,构成

6、一个n级排列,当,的代数和.,各项的符号是:当此项中元的行标按自然数顺序排列后,对应的列标构成的排列为奇排列时为负,为偶排列时为正。,取遍所有n,级排列,则的行列式表示的代数和中所有的项。,14,说明,1、阶行列式是 项的代数和;,2、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、一阶行列式,15,例1,定理:n阶行列式D=|aij|的一般项可记为:,其中,均为n级排列。,16,行列式定义的等价表示形式,行下标顺序排列,列下标顺序排列,据行列式定义可分析出:按定义只适合计算一些特殊的行列式(如有较多零元素的行列式),而直接计算一般的行列式时,可能会较烦琐。,.,17,特殊行列式,上

7、三角行列式,下三角行列式,对角行列式,左三角行列式,右三角行列式,.,18,练习,用行列式的定义计算下面的行列式,.,19,1.3 行列式的性质,如何有效地计算一般行列式?两条基本思路:经恒等变形先将一般行列式化为(含大量零元素的)特殊行列式,再按定义计算。经恒等变形先将一般行列式化为二、三阶行列式,再用对角线法则展开计算。要达到上述目的,先对行列式基本性质进行研究。,.,20,转置行列式,转置行列式定义:,把D中的行变为列,列变为行,可得一个新行列式,对行列式,.,21,行列式性质1,性质1:行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。,证明:,则,设,此时,(根据行列式等价定义),=D,行列的

8、地位是相同的,.,22,行列式性质2,性质2:互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。即,第t行,第k行,.,23,行列式性质2的证明,证:,第k行,第t行,D1=,第k行,第t行,D1的一般项为,因此,.,24,性质2的推论,推论:行列式中有两行(列)完全相同,则其值为零。即,第k行,第t行,D=,=0,因为将第k行与第t行互换可得,即,.,25,性质3:行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。即,证:左边=,=右边,.,26,性质3的推论,推论1:若行列式的某一行(列)中所有元素全为零,则此行列式的值为零。推论2:若行列式的某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值为零。即

9、,第k行,第t行,=0,.,27,性质4:若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和,则 此行列式等于两个行列式的和。即,=,+,左边,=右边,.,28,例1计算行列式,解:,=,+,.,29,性质5:把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。即,k,+,=,由性质3、4可证,此性质是行列式中化零元素主要工具。,.,30,性质回顾,性质1:行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。性质2:互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。性质3:行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号外。性质4:若行列式的某一行(列)中所有元素都是两个元素的和,则 此行列

10、式等于两个行列式的和。性质5:把行列式的某一行(列)所有元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。,31,例,二、应用举例,计算行列式常用方法:利用运算把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值,32,解,33,34,35,36,37,例2 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,38,39,例3,各列减去第一列,解得:,.,40,例4,第一行乘(-1)加到其余各行上,(-1),(-1),n(-1),n,.,41,小结,一、为了帮助同学们记忆行列式的性质,归纳如下:1.两个翻:全翻(转置)值不变;部分翻(换交)值变号。2.三个零:某行(列)元素全为零;两行(列)对应位置的元素

11、相等;两行(列)对应位置的元素成比例。3.三个可:可提性;可加性;可分性。二、两种计算方法:1.定义法;(主要用于低阶行列式、特殊行列式)。2.用行列式性质将行列式化为上(下)三角形方法。,.,42,叫做元素 的代数余子式,例如,四、行列式按行(列)展开,定义,43,44,引理 一个 阶行列式,如果其中第 行所有元素除 外都为零,那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即,例如,先考虑第一行除 外其余均为零情形,再考虑一般行第i 行所有元素除 外都为零情形。,45,定理 n阶行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即,46,例1 计算行列式,解,按第一行展开,得,47

12、,推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即,证,48,同理,49,关于代数余子式的重要性质,50,例2,51,52,例3 计算行列式,解,53,54,1.行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.2.如某一行(列)中非零元较少,则选取该行(列)来展开。,三、小结,55,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,56,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,57,例4 范得蒙(Vandermonde)行列式,其中,表示所有可能的,即,.,乘积,58,五、克莱姆法则,引入行列式概念时,求解二、三元线性方程组,当系数行列式

13、D0时,方程组有惟一解,n个方程的n元线性方程组一般形式为,59,定理(Cramer 法则)上面定义的线性方程组,当的系数行列式(定义)不等于零,即,则线性方程组(1)有唯一解,且,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,即,.,60,证:(存在性)将xj=Dj/D代入方程组验证。,.,61,(唯一性)设方程组有解x1,x2,xn则必定为xj=Dj/D。用D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组中的n个方程,得,再把 方程依次相加,得,于是,当 时,方程组(2)有惟一的一个解,.,62,例:用Cramer法则解线性方程组,解,.,63,.,64,定理:若齐次线性方程组(定义),的系数行列式D0,则它仅有零解。,推论:若上述齐次线性方程组有非零解,则必有系数行列式D=0。,以后可以证明对“方程数与未知量个数相等”的齐次线性方程组有非零解的充要条件是D=0。,.,65,例:讨论k取何值时,齐次方程组,(1)仅有零解;(2)有非零解;,解:系数行列式,当k0且k9时,D0,此时方程组仅有零解;,当k=0或k=9时,D=0,此时方程组有非零解。,

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