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1、第 五 章,相似矩阵,讨论矩阵在相似意义下化简为对角矩阵的问题.,本章讨论在理论上和实际应用上都非常重,要的矩阵特征值问题,并利用特征值的有关理论,内积定义,主要内容,内积的性质,n 维向量的长度（范数）和夹角,第 一 节 向量的内积,向量夹角，正交向量组的性质,正交基与规范正交基,施密特正交化方法,定义1 设有 n 维向量,令=x1y1+x2y2+xnyn,称为向,量 x 与 y 的内积.,一、内积的定义,内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩,阵记号表示.,当 x 与 y 都是列向量时，有,=xTy.,（1）=;（2）=;（3）=+;（4）0,且当 x 0 时有 0.,下列性质：,二、内积
2、的性质,设 x,y,z 为 n 维向量，为实数，则内积有,在解析几何中，我们曾引进向量的数量积,度和夹角：,广.,并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长,念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推,维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概,所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广.,但 n,(x1,x2,x3)(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3.,且在直角坐标系中，有,x y=|x|y|cos,三、向量的长度和夹角,1.向量的长度定义2 令,x 称为 n 维向量 x 的长度(或范数).,特别地，当 x=1 时,则称 x 为单位向量.,显然,当=0时,=0;当0时,则
3、0,单位向量 称为向量的单位化.,2.向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式 2,由此可得,(当|x|y|0 时),于是有下面的定义:定义3 当|x|0,|y|0 时,称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.,量正交.,x=0,则 x 与任何向量都正交,即零向量与任何向,当=0 时,称向量 x 与 y 正交.,显然,若,1.正交向量组的定义 定义4 由两两正交的非零向量构成的向量,两两正交的非零向量,则 a1,a2,ar 线性无关.,定理1 若 n 维向量 a1,a2,ar 是一组,2.正交向量组的性质,组称为正交向量组.,四、正交向量组,设有 k1,k2,kr 使 k1a1+k2a2+krar
4、=0,那么,证明:,对任意的i(1ir),因 0,从而必有ki=0.证毕.,例 1 已知 4 维向量空间 R4 中三个向量,正交,试求一个非零向量 a4,使 a1,a2,a3,a4两两正交.,令,解,则 a4 应满足齐次线性方程 Ax=0,即,解之得,1.定义5 设 a1,a2,ar 是向量空间 V(V Rn),单位向量,则称 1,r 是 V 的一个正交规范基.,(VRn)的一个基,如果 1,r 两两正交,且都是,定义 6 设 n 维向量 1,2,r 是向量空间V,a1,a2,ar 是 V 的一个正交基.,的一个基,如果 a1,a2,ar 两两正交,则称,五、正交规范基,2.用正交规范基表示向
5、量,即 ki=.,得=ki=ki,分别用 i 与做内积,a=k11+k2 2+krr.,示,设表示式为,么 V 中任一向量 a 应能由 1,2,r 线 性 表,若 1,2,r 是 V 的一个正交规范基,那,六规范正交基的求法 设 a1,a2,ar 是向量空间 V 的一个基,要,正交化:,我们可以用以下方法把 a1,a2,ar 规范,ar 这个基规范正交化.,a1,a2,ar 等价这样一个问题,称为把 a1,a2,正交的单位向量 1,2,r,使 1,r 与,求 V 的一个正交规范基.,这也就是要找一组两两,取 b1=a1;,容易验证 b1,br 两两正交,且 b1,br 与,然后只要把它们单位化
6、,即取,a1,ar 等价.,就得 V 的一个正交规范基.,bk 与 a1,ak 等价.,等价,还满足对任何 k(1 k r),向量组 b1,正交化过程.,它不仅满足 b1,br 与 a1,ar,向量组 b1,br 的过程称为施密特(Schimidt),上述从线性无关向量组 a1,ar 导出正交,综上所述,求向量空间 V 的一个规范正交基,的 一个规范正交基.,Step 3:把 正交基 b1,br 单位化即得 V,得正交基 b1,br;,Step 2:用施密特过程把 a1,ar 正交化,Step 1:求 V 的任意一个基 a1,ar;,可归为以下三步:,例 2 设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.,取 b1=a1;,解,再把它们单位化,取,则 1,2,3 即为所求.,例 3 已知,求一组非零向量,a2,a3 使 a1,a2,a3 两两正交.,a2,a3 应满足方程=0,即,它的基础解系为:,解,把基础解系正交化，即为所求.,其中,于是得,亦即取,
