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1、第六章 欧几里得空间,前面介绍的线性空间，是n维向量空间R的抽象与深化到目前为止我们在线性空间中只涉及到向量的加法与数乘然而在三维空间中还有许多重要的几何概念和运算，例如向量的长度，向量之间的夹角等概念以及向量的内积在线性空间中都没有涉及及讨论,第一节 欧几里得空间,一、几何空间中向量的内积,1.空间向量及两向量的夹角(回顾),实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为向量.,几何上用有向线段表示一个向量,线段的长度表示向量的大小.,空间向量为自由向量.在直角坐标系下,将向量的起点移至原点,称之为向径.,向量=(x,y,z)的长度,向量的方向角,将空间两向量,的起点移至一点o,两有向线段的夹角(
2、0)，称为向量 与 的夹角,当=0 或 时，称 与 平行(共线)，记作/.,例如,常力 f 作用于物体,使之产生位移 s,2.空间向量的内积.,这个力所作的功为,设,R3,记 与 的夹角为,称数,为向量 与 的,内积(数量积),记为,即,(1),(勾股定理)设 1,2,k 是 n 维欧氏空间 Rn 中的向量,且 i j 时,(i,j)=0,则,证,上一页,与 的夹角,的长度,因为=x12+y12+z12,(,0).,所以,4.用内积表示向量的长度及向量的夹角,上一页,二、n 维向量的内积,1.Rn 中向量内积定义,设,Rn,=(x1,x2,xn),=(y1,y2,yn),称数 x1 y1+x2
3、 y2+xn yn 为 与 的内积.记为(,),即,(,)=x1 y1+x2 y2+xn yn(3),2、内积的性质,设,则Rn,kR,则上面定义的内积满足以下性质：,当且仅当=0 时,等号成立.,性质(1)到(4)的证明可由内积定义直接推得.,(1),(2),(3),(4),三、欧氏空间Rn,称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为 n 维欧几里得(Euclid)空间,简称欧氏空间,仍记作Rn.,三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之为几何空间.R3 中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可平行推广到 Rn,使 n 维欧氏空间具有可度量性.,设=(x1,x2,xn)Rn,的长度,|定义
4、为,即,(4),特别地,时,称 为单位向量.,当,故称,为 的单位化向量.,=1,四、标准正交基的概念及意义,1.正交向量组:,如果欧氏空间中的向量组 1,2,m 中任意两个向量都是相互正交的,即,(i,j)=0,i j,i,j=1,2,m,则称 1,2,m 为正交向量组(简称正交组.),欧氏空间中不含零向量的正交向量组是线性无关的.,证,设1,2,m是一个正交的向量组,又设,k11+k22+kmm=0,则,由于,故 ki=0,故1,2,m 线性无关.,上一页,2.标准正交基,设1,2,nRn,如果,则称1,2,n 是 Rn 的一组标准正交基.,显然,是 Rn 的标准正交基.,在 R3 中,分
5、别为三个坐标轴正向的单位矢量.,上一页,五、施密特(Schmit)正交化方法求标准正交基,下面讨论由 Rn 的一组基构造 Rn 的标准正交基的方法,为直观起见,先从 R3 开始讨论.,在 上的投影为：,在 上的投影向量为：,为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及投影向量.,设1,2,3 是 R3 的一组基,令1=1,将2 在 1 上的投影向量记为 2,则2=k12 1,其中,再取,则 2 1.,将 在 1,2 上的投影向量分别记为,3 在 1,2 所在平面上的投影向量为 3.,则,其中,取,则,因此,是两两正交的非零向量组.,再将,单位化,即取,则,就是R3 的一组标准正交基.,上一页,一般地,设,是 Rn 中的一个线性无关组,取,容易验证,两两正交,上述由,得到,的过程称之为向量组的正交化,将这 个正交化的向量组再单位化,即取,就得到正交的单位向量组,称之为标准正交组.,上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为施密特(Schmit)正交化方法.,上一页,解,设 R3 的一组基为 1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),试用施密特正交化方法构造 R3 的一组标准正交基.,取 1=1,取,便为所求的一组标准正交基.,上一页,上一页,
