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1、一、实对称方阵的对角化,定理1 实对称方阵的特征值都是实数.,第三节 用正交变换化二次型为标准化,求正交矩阵 Q 使 Q1AQ 成对角形矩阵，并求此对角形矩阵.,其中,解,=(2)(2 6+5)=0,A 的特征值为 1=1,2=2,3=5.,1=1 时,由(EA)X=0,即,解得对应的特征向量为 1=(0,1,1)T;,2=2 时,由(2EA)X=0,解得对应的特征向量为 2=(1,0,0)T;,3=5 时,由(5EA)X=0,解得对应的特征向量为 3=(0,1,1)T.,上一页,将 1,2,3 单位化，得,故所求的正交变换矩阵为,对应于特征值1,对应于特征值2,对应于特征值5,且,Q 1AQ
2、=,任意一个 n 元实二次型,都存在正交变换 X=QY 使得,其中 1,2,n 就是 A 的全部特征值,Q 的 n 个列向量是 A 的对应于特征值1,2,n 的标准正交特征向量.,上一页,二、用正交变换化二次型为标准形,1.写出二次型 f 的矩阵 A,并求 A 的全部特征值 1,2,n(重数计算在内).,2.求出各特征值的特征向量；若 i 是 k 重根时，找出 I 的 k 个线性无关的特征向量，并用施特正交化方法将它们正交化.,步骤：,3.将所得的 n 个正交向量再单位化，得 n 个两两正交的单位向量 P1,P2,Pn,记 P=P1,P2,Pn.,则 X=PY 为所求正交变换，f 的标准形为,
3、求一个正交变换化二次型,成标准形.,二次型的矩阵,解,A 的特征多项式为,A 的特征值是 1=2=0,3=9.,对于 1=2=0,从而可取特征向量 p 1=(0,1,1)T,及与 p1 正交的另一特征向量 p2=(4,1,1)T.,上一页,对于 3=9,取特征向量 p3=(1,2,2)T.,将上述相互正交的特征向量单位化，得,属于特征值0,属于特征值9,则存在正交变换,使二次型化为标准形,上一页,解,已知二次型,通过正交变换化成标准形,求参数 a 及有所用的正交变换矩阵.,二次型 f 的矩阵,特征方程为,=(2)(26+9 a2)=0,A 的特征值为 1=1,2=2,3=5.,将=1(或=5)
4、代入特征方程，得,A2 4=0,a=2.,因 a 0,故取 a=2.,这时，,1=1 时,由(IA)X=0,即,解得对应的特征向量为 1=(0,1,1)T,2=2 时,由(2IA)X=0,解得对应的特征向量为 2=(1,0,0)T,3=5时,由(5IA)X=0,解得对应的特征向量为 3=(0,1,1)T.,将 1,2,3 单位化，得,故所求的正交变换矩阵为,上一页,解,已知二次型,的秩为 2,(1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值.,(2)指出方程 f(x1,x2,x3)=1 表示何种二次曲面.,(1)此二次型对应矩阵为,因 r(A)=2,解得 c=3.,这时，,=(4)(9),故所求特征值为=0,=4,=9.,(2)由上述特征值可知二次型 f 通过变换，可化为标准形为,那么 f(x1,x2,x3)=1 表示椭圆柱面.,
