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1、,第一篇线性代数(物理类专业用),高等数学（第二版）第三册,线性代数绪论,变量之间的线性的关系,线性关系,线性方程,非线性关系,非线性方程,线性方程组,由线性方程构成的方程组，叫线性方程组。,备注页:,线性代数的主要内容,行列式的定义、性质与运算；矩阵的定义、性质与运算；线性方程组、线性空间、线性变换；欧几理得空间；n元实二次型；,第一章 行列式,本章主要讨论如下几个问题：1、行列式的概念及性质；2、行列式的计算和展开；,行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛运用到理工科及经济管理各个领域，有很多问题需要用到“行列式”这个数学工具。,二、n阶行列式定义,第一节 n阶行列式的定义,一、二
2、、三阶行列式的引入及定义,可用消元法解二元线性方程组,行列式的概念源于对线性方程组的研究：,设有二元线性方程组,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,此解的公式不易记,为便于记忆和应用,萨鲁斯(.)创造性地引进行列式的记号:,定义,例1,主对角线,次对角线,对角线法则,二阶行列式的记忆法,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,利用二阶行列式求解二元线性方程组,则二元线性方程组,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,可表达为,的解,例2,解,定义,记,（6）式称为三阶行列式.,三阶行列式的记忆法,-对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明 1.对角线法则
3、只适用于二阶与三阶行列式,例3,解,按对角线法则，有,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,则三元线性方程组,为系数行列式,这里:,则三元线性方程组,有唯一解,且解为:,则三元线性方程组,有唯一解,且解为:,则三元线性方程组,有唯一解,且解为:,行列式的特点：,1.3阶行列式是3！个项的代数和。2.每一项是三个元的乘积，这三个元恰好是每行每列各一个。3.每项有确定的符号。,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,6 种放法.,共有,自然
4、数排列的概念：,问题,1.定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,例 2 4 3 1,4 5 3 2 1,1 2 3 n,n(n 1)1,4级排列；,5级排列；,n级排列，称为自然排列；,n级排列。,不同n级排列的总数,用1,2,n这n个数字，可以组成多少个不同的n级排列？,共有,n 种放法,n-1 种放法,n-2 种放法,3 种放法,2 种放法,1 种放法,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个反序.,例如 排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的反序数,3 2 5 1 4,定义 一个排
5、列中所有逆序的总数称为此排列的反序数.,反序数为奇数的排列称为奇排列;,反序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,计算排列反序数的方法,方法1,方法2,分别计算出排列中每个元素的反序数，这每个元素的反序数之总和，即分别计算出每个元素后面比它小的数码之和即为所求排列的反序数。,分别计算出每个元素前面比它大的数码之和即为所求排列的反序数.,例1 求排列 32514的反序数，并讨论奇偶性.,解,在排列32514中,3 2 5 1 4,逆序数为,3 2 5 1 4,逆序数为,此排列为奇排列.,引理:排列经一次互换改变其奇偶性.,定理:n各不同自然数的任一排列必可经若干互换变成标准排列,并且互换次数的奇偶性与该排列的奇偶性一致.,可以证明n个不同自然数的一切排列中奇偶排列各占一半。,中为奇排列时为负号，为偶排列时为正号。,每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的反序数为,列标排列的反序数为,偶排列,奇排列,二、n阶行列式的定义,定义,例1 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,
