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1、只需寻找,4 二次型化标准形,使二次型,转换为标准形,正交变换,要判断曲线、曲面形状,只需将曲线、曲面方程转化为标准方程,只需寻找,一、利用正交变换化二次型为标准形,定理1 设A 为n 阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q,使,回顾上次课结论：,（1）设A有m个不同特征值,依次为,（2）相应于,恰有,个线性无关的特征向量,，它们的重数,，把它们正交单位化得，,（3）,为正交阵，且有,总有正交变换 x=Py，使 f 化为标准形,定理2,例1 求一个正交变换 x=Py，把二次型,化为标准形.,利用正交矩阵将对称矩阵,对角化.,于是问题转化为：,解：,A的特征多项式为,故A的特征值为,相应于,无关的特征向量
2、只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,正交矩阵为,所做正交变换为,标准形为：,（1）判断二次曲线,的形状；,（2）判断二次曲面,的形状。,下面解决本章第一次课所提的问题：,（1）判断二次曲线,的形状.,解：,令,其矩阵为,A的特征多项式为,故A的特征值为,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,正交矩阵为,所做正交变换为,二次型的标准形为：,二次曲线的标准方程为：,该曲线为双曲线.,（2）判断二次曲面,的形状.,解：
3、,其矩阵为,A的特征多项式为,故A的特征值为,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量有两个，满足,的特征向量满足,满足,且正交的特征向量,可取为,单位化得,正交矩阵为,所做正交变换为,二次型的标准形为,二次曲面的标准方程为,二次曲面的形状为,旋转双曲面,二、Lgrange配方法化二次型为标准形,下面介绍一种行之有效的方法 拉格朗日配方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变,问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？（不要求形状不变）,拉格朗日配方法的步骤：,1.若二次型含有,的平方项，则先把含有,的乘积项集中，然后配方，,进行，,
4、直到都配成平方项为止，,再对其余的变量同样,就得到标准形;,经过可逆性变换，,2.若二次型中不含有平方项，但是,含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,化二次型为,则先作可逆线性变换,例1,所做可逆变换为,而我们曾用正交变换,化标准形为：,比较,例2,做可逆变换,不含平方项,再做可逆变换,，得标准型为,我们曾在正交变换之下化标准型为,.,比较,二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：,注：,(1)所含平方项个数相同，都等于矩阵A的秩；,(2)平方项的系数正负项数相同。,定义：称标准形中正系数个数为正惯性指数；负系数个数为负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数为符号差.,例,的正惯性指数为2，,负惯性指数为1，,符号差为1.,惯性定理,
