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1、3.2 线性相关与线性无关,线性相关性概念,设,定义1 是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数 使得,见书中例12（P87）,求相关系数的方法,考虑m个n维列向量：,即 有非零解，这里 为 矩阵.求出的非零解的m个分量 就是所要求的相关系数。类似地，m个n维行向量 线性相关,例 讨论向量组线性相关，则,的线性相关性.若,解,由于,从而,线性相关,求出一组不全为零的数,即变量个数大于方程个数有自由变量,定理3.2.2 如果向量组 线性无关，而添加一个同维向量 后所得到的向量组 线性相关，则 可以用 线性表出，且表示法是惟一的。证 可表性 因为 为线性相关组，所以存在不全为零的m+1个数 使得如
2、果，则 不全为零，且，这与 为线性无关组的假设矛盾。所以必有，于是得到线性表出式。,即 可由向量组 线性表出。惟一性：如果由两个线性表出式则有因为 线性无关，必有 即 所以线性表出式惟一。,定理3.2.3 设 为线性相关组，则任意扩充后的同维向量组，必为线性相关组。定理可以简述为“相关组的扩充向量组必为相关组”，或者“部分相关，整体必相关”.它的等价说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整体无关，部分必无关”.,定理3.2.4 设有两个向量组，它们的前n个分量对应相等：如果 为线性相关组，则 必为线性相关组。证 因为 为线性相关组，所以一定存在不全为零的数 使得,其中前n个等式成立也就是下述向量方程成立：这就证明了 为线性相关组。我们把向量组 称为向量组 的“接长”向量组；而把向量组 称为向量组 的“截短”向量组。定理可以简述为“相关组的截短向量组必为相关组”.它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关组”.注意:“扩充或子组”与“接长或截短”的区别，前者是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变，维数增减.,例12考虑以下三个向量组:其中,B是A的子向量组,A是B的扩充向量组,C是A的接长向量组,A是C的截短向量组.,
