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1、第四章 线性系统的根轨迹法（Root locus）,主要要求：根轨迹的概念根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则广义根轨迹（参数根轨迹、零度根轨迹）用根轨迹法分析系统性能,系统的根轨迹是指当系统的某一参数或某些参数发生变化时，闭环系统特征方程的根在S平面的变化轨迹。,1948 美国Walter R.Evans,4.1 根轨迹的概念,他的两篇论文Graphical Analysis of Control System,AIEE Trans.Part II,67(1948),pp.547-551Control System Synthesis by Root Locus Method,AIEE Trans
2、.Part II,69(1950),pp.66-69基本上建立起根轨迹法的完整理论。,Graphical Analysis of Control System,AIEE Trans.Part II,67(1948),pp.547-551,Control System Synthesis by Root Locus Method,AIEE Trans.Part II,69(1950),pp.66-69,根轨迹与系统性能的关系,稳定性 稳态性能 动态性能,4.1 根轨迹的概念,二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,如图所示系统闭环传递函数为,将前向通道传递函数G（s）表示为：,为前向通道增益，
3、为前向通道根轨迹增益,对于有m个开环零点和n个开环极点的系统，必有f+l=m和q+h=n,闭环传递函数,可得出以下结论,闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益 有关。,闭环传递函数,闭环特征方程,根轨迹方程,系统开环传递函数,时间常数形式,零极点形式,开环增益,开环根轨迹增益,根轨迹方程,闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。,根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数。,设开环传递函数有m个零
4、点，n个极点，并假定nm，这时上式又可以写成：,不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。,180度根轨迹,注意,在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。,模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。,例4-1,它们应满足相角方程,已知系统的开环传递函数,试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。,例41开环零、极点分布图,(k=0),以 为试验点，可得,图44,以 为试验点，观察图44，可得,证毕,可见，都满足相角方程，所以，点是闭环
5、极点。,22,例4-2,解 根据模值方程求解 值,模值方程,已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如下图所示，求根轨迹上点 所对应的K值。,根据上图可得,所以,上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的 值。,根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环根增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。,4.2、绘制根轨迹图的基本法则,在S平面内标出开环传函的极点（）及零点（）箭头表示参数变化的方向,4.2、绘制根轨迹图的基本法则,把系统的特征方程化为标准零-极点形式,m个开环零点，n个开环极点,4.2、绘制根轨
6、迹图的基本法则,在S平面内标出开环传函的极点（）及零点（）,一、根轨迹的分支数 分支数闭环特征方程根的个数=maxn,m,4.2、绘制根轨迹图的基本法则,二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为 实数在实轴上 复数共轭对称于实轴,起于开环极点，终于开环零点。,三、根轨迹的起点与终点,由根轨迹方程有：,实轴上的某一区段，若其右边的开环实数零、极点个数之和为奇数，则实轴上的该区段是根轨迹。,证明：,设一系统开环零、极点分布如图。,四、实轴上的根轨迹,复平面上的开环共轭零点或共轭极点，对实轴上的根轨迹上的点，相角贡献为零。,S1点左边开环实数零、极点到S1的向量为零,S1点右边开环实数零、极点到S1的向量为
7、,在实轴上任取一试验点 代入相角方程则,所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。,证毕,如满足相角条件必有,所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。,一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式,设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。,解：将开环传递函数写成零、极点形式,设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。,法则一，有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处。法则四，在负实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根
8、轨迹。,按绘制根规迹法则逐步进行：,五、根轨迹的渐近线,渐近线与实轴正方向的夹角为：,渐近线与实轴相交点的坐标为：,已知系统的开环传递函数,试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。,极点,以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线,六、根轨迹的起始角和终止角,根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。,根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。,起始角与终止角计算公式,起始角计算公式：,终止角计算公式：,例 设系统开环传递函数,试绘制系统概略根轨迹。,解 将开环零、极点画在根平面上，逐步画图：,n=2，有两条根轨迹,两条根轨迹分别起始于开环极点(-1-j2
9、),(-1+j2)；终于开环零点(-2-j),(-2+j),确定起始角,终止角。,根轨迹的起始角和终止角,七、根轨迹的分离点,定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。,八、根轨迹与虚轴的交点,九、根之和与根之积,如果系统特征方程写成如下形式,闭环特征根的之和，等于闭环特征方程第二项系数。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。,在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-m2的系统，当增益的变动使某些闭环极点在s平面上向左 移动时，则
10、必有另一些极点向右移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。,闭环特征根之积乘以，等于闭环特征方程的常数项。,零度根轨迹,零度根轨迹 根轨迹方程相角条件为,A、非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子,产生的主要原因：,B、系统中包含有正反馈内回路,4-3参数根轨迹（广义根轨迹）,4-4引入开环零、极点对根轨迹的影响,加入开环偶极子前的根轨迹如下图。,加入开环偶极子后的根轨迹和加入开环偶极子前后的阶跃响应的比较,4、开环零、极点相消,某反馈系统的开环传递函数为1、绘制参数K变化时闭环系统的根轨迹（确定 分离点、渐近线）；2、K取何值时，闭环系统特征方程的根均为稳 定实根；3、若系统的输入为r(t)=t2+3t+1，K取何值时，系统的稳态误差ess0.5。,某被控对象的传递函数为1、对该对象进行单位反馈，K过大或过小时，系统会发生什么情况？当K64时，近似求出闭环系统对单位阶跃输入响应的超调量和调节时间；2、为了改善闭环系统对单位阶跃输入的性能，对系统进行串联校正，请用根轨迹法设计比例微分校正Kp(1+Ts)，使系统有一对闭环主导极点-2j2从而降低超调量、减少调节时间，请给出其具体表达式（仍设K64）。计算校正后系统的超调量和调节时间。,
