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1、一、引言,二、线性规划模型,三、整数线性规划模型,四、0-1整数规划模型,五、非线性规划模型,六、多目标规划模型,七、动态规划模型,一、引言,我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模竞,谈起.,其中第二个问题是一个如何来分配有限资源，,从而达到人们期望目标的优化分配数学模型.,这类问题一般可以归结为数学规划模型.,赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问,规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来,来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事,行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、,创造的价值无法估量.,特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常,见的一类数学模型.从历年全国大学生数模竞赛
2、,越多的人所重视.随着计算机的逐渐普及，它越,试题的解题方法统计结果来看，每年至少有一道,题涉及到利用规划理论来分析、求解.,二、线性规划模型,线性规划模型是所有规划模型中最基本、最,例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养,素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij,n 种,食物价格分别为c1,c2,cn，请确定食谱中n 种食,物的数量x1,x2,xn，要求在食谱中 m 种营养素,简单的一种.,2.1 线性规划模型的标准形式,的含量分别不低于b1,b2,bm 的情况下，使得总,总的费用最低.,首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为,其次食谱中第 i 种营养素的含量为,因
3、此上述问题可表述为：,解,上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题，,寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模,型.,它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，,线性规划模型的三种形式,一般形式,目标函数 价值向量 价值系数 决策变量,右端向量,系数矩阵,规范形式,标准形式,三种形式的LP问题全都是等价的，即一种形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，且它们有相同的解.,以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准形式.,目标函数的转化,约束条件和变量的转化,为了把一般形式的LP问题变换为规范形式，我们必须消除等式约束和符号无限制变量.在一般形式的LP中，一个等式约束,可用下述两个不等式约束去
4、替代,这样就把一般形式的LP变换为规范形式.,对于一个无符号限制变量，引进两个非负变量 和，并设,为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，必须消除其不等式约束和符号无限制变量.,对于一个不等式约束,代替上述的不等式约束.,对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.,可引入一个剩余变量，,用,对于不等式约束,代替上述的不等式约束,这样就把一般形式的LP变换为标准形式.,可引入一个松弛变量,，用,针对标准形式的线性规划问题，其解的理论,分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算,单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也,法单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段,2.2 线性规划模型的求解,法，对偶单纯形
5、法等）.,是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个,特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判,断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不,是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求解过程可参见文献1.,在实际应用中，特别是数学建模过程中，遇到线性规划问题的求解，我们一般都是利用现有的软件进行求解，此时通常并不要求线性规划问题是标准形式.比较常用的求解线性规划模型的软件包有LINGO和LINDO.,运输问题,例2.设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物,资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100
6、吨、C,假定运费与运量成正比.在这种情况下，采用不,地200吨、D地100吨.已知每吨运费如表1.1所示.,同的调拨计划，运费就可能不一样.现在问：怎,样才能找出一个运费最省的调拨计划？,解,一般的运输问题可以表述如下：,数学模型：,若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，即,类似与将一般的线性规划问题转化为其标准,否则，称为不平衡的运输问题，包括：,，则称该问题为平衡的运输问题.,总产量总销量和总产量总销量.,形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地，,将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题.从,而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解.,产销不平衡问题的处理 在实际中遇到的运输问题常常不是
7、产销平衡的，而是下列的一般运输问题模型 m nmin f=cij xij（1）i=1 j=1 n s.t.xij ai i=1,2,m（2）j=1 m xij(=,)bj j=1,2,n(3）i=1 xij 0(i=1,2,m;j=1,2,n)（4）,我们可以通过增加虚设产地或销地（加、减松弛变量）把问题转换成产销平衡问题，下面分别来讨论。1.产量大于销量的情况 m n 考虑 ai bj 的运输问题，得到的数学模 i=1 j=1型为,m n min f=cij xij i=1 j=1 n s.t.xij ai i=1,2,m j=1 m xij=bj j=1,2,n i=1 xij0(i=1,
8、2,m;j=1,2,n),只要在模型中的产量限制约束（前m个不等式约束）中引入m个松弛变量xi,n+1 i=1,2,m 即可，变为：n xij+xin+1=ai i=1,2,m j=1然后，需设一个销地Bn+1,它的销量为：m n bn+1=ai-bj i=1 j=1,这里，松弛变量 xi n+1 可以视为从产地 A i 运往销地 Bn+1 的运输量，由于实际并不运送，它们的运费为 ci n+1=0 i=1,2,m。于是，这个运输问题就转化成了一个产销平衡的问题。,2.销量大于产量的情况 m n 考虑 aibj 的运输问题，得到的数学模型为 i=1 j=1,m n Min f=cij xij
9、i=1 j=1 n s.t.xij=ai i=1,2,m j=1 m xij bj j=1,2,n i=1 xij0(i=1,2,m;j=1,2,n),只要在模型中的产量限制约束（后n个不等式约束）中引入n个松弛变量xm+1j j=1,2,n即可，变为：m xij+xm+1j=bj j=1,2,m i=1然后，需设一个产地A m+1,它的销量为：n m am+1=bj-ai j=1 i=1,这里，松弛变量 x m+1,j 可以视为从产地 A m+1 运往销地 B j 的运输量，由于实际并不运送，它们的运费为 c m+1,j=0 j=1,2,n。于是，这个运输问题就转化成了一个产销平衡的问题。,
10、显然，运输问题是一个标准的线性规划问题，因而当然可以运用单纯形方法求解.但由于平衡的运输问题的特殊性质，它还可以用其它的一些特殊方法求解，其中最常用的就是表上作业法，该方法将单纯形法与平衡的运输问题的特殊性质结合起来，很方便地实行了运输问题的求解.关于运输问题及其解法的进一步介绍参考文献2.,对于线性规划问题，如果要求其决策变量取,整数值，则称该问题为整数线性规划问题.,平面法和分支定界法是两种常用的求解整数线性,对于整数线性规划问题的求解，其难度和运,三、整数线性规划模型,算量远大于同规模的线性规划问题.Gomory割,规划问题的方法（见文献1）.此外，同线性规,划模型一样，我们也可以运用L
11、INGO和LINDO软,件包来求解整数线性规划模型.,以1988年美国大学生数学建模竞赛B题为例，说明整数线性规划模型的建立及用LINGO软件包如何求解整数线性规划模型。,例3.有七种规格的包装箱要装到两节铁路平板车,上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以,cm 计）及重量（w，以kg计）是不同的.表1给出,了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每节平板,车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（像面包片,那样），载重为40t.由于当地货运的限制，对于,C5,C6,C7 类包装箱的总数有一个特别的限制：这,类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm.试,把包装箱装到平板车上，使得浪费的空间
12、最小.,为在第 节车上装载第 件包装箱的,解 令,下面我们建立该问题的整数线性规划模型。,1)约束条件,两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即：,每节车可装的长度不能超过车能提供的长度：,每节车可装的重量不超过车能够承受的重量：,对于C5,C6,C7类包装箱的总数的特别限制：,2)目标函数,浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大：,3)整数线性规划模型,由上一步中的求解结果可以看出，,4)模型求解,运用LINGO软件求解得到：,5)最优解的分析说明,的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm，,两节车共装箱的总长度为2039.4cm.,即为最优,但是，上述求解结果只是其中一种最优的,装车方案
13、，即此答案并不唯一.,0-1整数规划是整数规划的特殊情形，它要求,线性规划模型中的决策变量xij只能取值为0或1.,单隐枚举法，该方法是一种基于判断条件（过滤,0-1整数规划模型的求解目前并没有非常好的,四、0-1整数规划模型,算法，对于变量比较少的情形，我们可以采取简,条件）的穷举法.,我们也可以利用LINGO和LINDO软件包来求,解0-1整数规划模型.,背包问题,例4.有 n 个物品，编号为1,2,n，第 i 件物品,重 ai 千克，价值为 ci 元，现有一个载重量不超过,大，应如何装载这些物品？,a 千克的背包，为了使装入背包的物品总价值最,用变量 xi 表示物品 i 是否装包，i=1
14、,2,n，,并令：,解,可得到背包问题的规划模型为：,指派问题,例5.有n 项任务，由 n 个人来完成，每个人只能,做一件，第 i 个人完成第 j 项任务要 cij 小时，如,何合理安排时间才能使总用时最小？,引入状态变量 xij，并令：,解,则总用时表达式为：,可得到指派问题的规划模型为：,上面介绍的指派问题称为指派问题的标准形,式，还有许多其它的诸如人数与任务数不等、及,但一般可以通过一些转化，将其变为标准形式.,某人可以完成多个任务，某人不可以完成任务，,某任务必须由某人完成等特殊要求的指派问题.,对于标准形式的指派问题，我们可以利用匈,牙利算法实现求解.它将指派问题中的系数构成,一个矩
15、阵，利用矩阵上简单的行和列变换，结合,解的判定条件，实现求解（见文献2）.,DVD在线租赁第二个问题的求解,问题二的分析,经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素.在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为DVD的数量.我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大.,假设按照公历月份进行的租赁业务，即会员无论两次租赁还是一次租赁，必须在当月内完成DVD的租与还.同时假设网站对其会员进行一次租赁业务时，只能向其提供3张该会员已经预定的DVD，否则不进行租赁.,经观察，可以认为在线订单中每个会员的预
16、定DVD的表示偏好程度的数字反映了会员对所预定不同DVD的满意程度，且当会员租到其预定排序为1，2，3的三张DVD时，满意度达到100%.会员没有预定的DVD对其满意度的贡献为0.,利用层次分析法，对此满意指数的合理性进,行了简单分析.,该问题要求根据现有的100种DVD的数量和当前需要处理的1000位会员的在线订单，制定分配策略，使得会员达到最大的满意度.因而我们认为,只需对这些DVD进行一次性分配，使得会员的总体满意度达到最大.为此考虑建立优化模型，进行求解.,问题二的模型及求解,经营成本和会员的满意度是被考虑的两个相互制约的重要因素.在忽略邮寄成本的前提下，经营成本主要体现为DVD的数量.我们主要考虑在会员向网站提供需求信息，且满足一定要求的前提下，对给定数量DVD进行分配决策，使得DVD的数量尽量小，会员满意度最大.,由此，可得问题二的0-1整数线性规划模型如下：,根据所得的0-1整数线性规划模型，利用LINGO软件进行求解，我们得到了一组最优分配方案（见表3）.,该组最优解其目标函数会员总体最大满意度为91.56%，只有6人未成功租赁（如：前30名会员中C0008被分配到DVD），其余994个会员全都得到了3张预定的DVD.,
