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1、1,第2章 递推关系与母函数,2.1 递推关系 2.2 母函数(生成函数)2.3 Fibonacci数列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 2.9 ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充,2,2.8：整数的拆分,1、拆分的概念,2、拆分的模型,3、拆分算法:递归实现,4、用母函数讨论拆分数,3,2.8：整数的拆分,所谓整数的拆分，是指把一个正整数
2、拆分成若干正整数的和。不同的拆分法的数目称为拆分数,例如：考虑正整数4的拆分数：4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1,通常用p(n)表示整数n拆分成若干正整数的和的拆分数，也可说成方案数 例如p(4)=5。,1、拆分的概念,4,(1)、C(n,r),2、拆分的模型,2.8：整数的拆分,从n个不同的球中取出r个,放进r个相同的盒子中,不许空盒,有多少种放法.,(2)、P(n,r),从n个不同的球中取出r个,放进r个不相同的盒子中,不许空盒,有多少种放法.,5,(3)、从n个不同元素中取r个允许重复的组合,2.8：整数的拆分,r个相同的球放进n个不同的盒子中,允许空盒
3、,有多少种放法.,以正整数4为例：4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1,(4)、正整数n的拆分数,6,正整数n的拆分，相当于把n个无区别的球放进n个无区别的盒子，盒子中允许放一个以上的球，也允许空着,以正整数4为例，球的放法如下：4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1,2.8：整数的拆分,*,7,3、拆分算法:递归实现,定义一个函数Q(n,m)：表示整数n的所有加数都不超过m的拆分数。n的拆分数就可以表示为Q(n,n),Q(n,n)有以下递归关系,(1)Q(n,n)=1+Q(n,n-1),停止条件：(1)Q(n,1)=1(2)Q(1,m
4、)=1,2.8：整数的拆分,Q(n,m)有以下递归关系,(2)Q(n,m)=Q(n,m-1)+Q(n-m,m),8,int divinteger(int n,int m)if(n1|m1)printf(“error”);else if(n=1|m=1)return(1);else if(nm)return divinteger(n,n)else if(n=m)return(1+divinter(n,n-1);else return(divinteger(n,m-1)+divinteger(n-m,m);,2.8：整数的拆分,9,例1 求4的拆分数。,解：分析下面的多项式x4项的系数与4的拆分数
5、的关系.,(1+x+x2+x3+x4)(1+x2+x4)(1+x3)(1+x4),4、用母函数讨论拆分数,2.8：整数的拆分,4=1+1+1+1,4=2+1+1，4=2+2，4=3+1，4=4，,10,n的拆分数的母函数。,4、用母函数讨论拆分数,2.8：整数的拆分,11,例2 求1角、2角、3角的邮票可贴出不同数值邮资的方案数的母函数。,解：,单独用1角的母函数为1+x+x2+x3+,单独用2角邮票的母函数为1+x2+x4+x6+,单独用3角邮票的母函数为1+x3+x6+x9+,2.8：整数的拆分,12,2.8：整数的拆分,13,例3 求正整数n拆分成1,2,m的和，并允许重复的拆分数。如若
6、其中m至少出现一次，试求它的方案数及其母函数。,解1：,展开式中xn项的系数就是要求的拆分数。,2.8：整数的拆分,14,解2：如果m至少出现一次。,G(x)=(1+x+x2+)(1+x2+x4+),(xm+x2m+),2.8：整数的拆分,15,2.8：整数的拆分,正整数n拆分成1,2,m的和，并允许重复的拆分数。若其中m至少出现一次，它的方案数等于拆分成1,2,m的拆分数减去拆分成1,2,m-1的拆分数。,以正整数4为例：4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1,16,定理2.8.1 正整数r拆分成不同正整数和的拆分数，等于拆分成奇正整数的拆分数？,对比7拆分成不同
7、正整数之和的拆分数和拆分成奇数和的拆分数。,解：7拆分成不同正整数和的所有形式如下：7，6+1，5+2，4+3，4+2+1共5种,解：7拆分成奇数和的所有形式如下：7，5+1+1，3+3+1，3+1+1+1+1，1+1+1+1+1+1+1也是5种,2.8：整数的拆分,17,解：首先构造r拆分成不同正整数和的拆分序列的母函数：G(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4),2.8：整数的拆分,18,定理2.8.2 n拆分成其它数之和但重复数不超过2。其拆分数等于它拆分成不被3除尽的数的和的拆分数。,考虑n=5的情况,5的所有拆分情况如下：5，4+1，3+2，3+1+1，2+2+1，2+
8、1+1+1，1+1+1+1+1,5，4+1，3+2，3+1+1，2+2+1,5，4+1，2+2+1，2+1+1+1，1+1+1+1+1,2.8：整数的拆分,19,解：n拆分成重复数不超过2的数之和的拆分数，其母函数为：,G(x)=(1+x+x2)(1+x2+x4)(1+x3+x6)(1+x4+x8),2.8：整数的拆分,20,例2-25 n个完全相同的球放到m个无区别的盒子，不允许空盒，问共有多少种不同的方案？其中mn。,解：从n中取m个球一个盒子放一个。,整数n-m用不超过m的数来拆分的拆分数。,展开中xn-m项的系数,2.8：整数的拆分,21,例6 n个完全相同的球放到m个有区别的盒子，允
9、许空盒，问共有多少种不同的方案？其中mn。,解：第一盒，用1代表不放球，用x代表放一个球，用x2代表放两个球，。单独第一盒的母函数可构造为：1+x+x2+xn+,其它盒也有同样的情况，共m个盒子。,2.8：整数的拆分,22,例7 n个完全相同的球放到m个有区别的盒子，不允许空盒，问共有多少种不同的方案？其中mn。,解：第一盒，用1代表不放球，用x代表放一个球，用x2代表放两个球，。因为不允许空盒，因此常数项为零，单独第一盒的母函数可构造为：x+x2+xn+,其它盒也有同样的情况，共m个盒子。,2.8：整数的拆分,23,xn-m项的系数是:C(m+n-m-1,n-m)=C(n-1,n-m)=C(
10、n-1,m-1)因此。方案数为C(n-1,m-1),2.8：整数的拆分,*,24,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,假设正整数n拆分成n=n1+n2+nk。其中n1n2 n3 nk。将他们排成阶梯形，左边对齐，第一行n1格，第二行n2格，第k行nk格。,3,2,2,1,1,2,3,4,例如：8=3+2+2+1,1、什么是费勒斯图像,25,2、费勒斯（Ferres)图像的性质：,(1)每一层至少有一个格子；,(3)行与列互换，即第1行与第1列互换，第2行与第2列互换，,也就是沿对角线旋转180，仍然是费勒斯图像；,后一个费勒斯图像称为前一个费勒斯图像的共轭图像，而且互为共轭。,2.9 费勒斯
11、（Ferrers)图像,(2)下一层的格数不多于上一层的格子数；,26,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,3,2,2,1,1,2,3,4,3、费勒斯图像对拆分数的讨论,例如：8=3+2+2+1,27,定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。,(2)把正整数n拆分成最大数为m的拆分数之和。,推论:如下拆分数相同(1)正整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，(2)正整数n拆分成最大数不超过m的数的拆分数。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,28,定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。,(2)把正整
12、数n拆分成最大数为m的拆分数之和。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,29,推论:正整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，等于将n拆分成最大数不超过m的数的拆分数。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,30,拆分成正好m个数的拆分数。,拆分成不超m个数的拆分数。,拆分成不超m-1个数的拆分数。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,31,定理2.9.2 整数n拆分成互不相同的若干奇数和的拆分数，与n拆分成有自共轭费勒斯图像的拆分数相等。这里所讲的自共轭费勒斯图像是指共轭图像与原图像一致。,每一个奇数都与右图这样的自共轭费勒斯图像一一对应。,n拆分成若干奇数和可以如下表示：n=(2n1
13、+1)+(2n2+1)+(2nk+1),任何一个奇数都可表示成2n+1这种形式。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,32,例如：17=9+5+3，求所对应的自共轭费勒斯图像。,首先将9写成24+1,按此构造自共轭费勒斯图像。,将5写成22+1,按此构造自共轭费勒斯图像。,将3写成21+1,按此构造自共轭费勒斯图像。,将这三个图像结合起来就得到了我们所要求的图像。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,33,n拆分成若干奇数和可以如下表示：n=(2n1+1)+(2n2+1)+(2nk+1),构造一个Ferrers图像，其第一行，第一列都是n1+1格，对应于2n1+1，,第二行，第二列各n2+2格，对应于2n2+1。,以此类推。由此得到的Ferres图像是自共轭的。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,34,例1 若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出几种可能的重量。,解：,单独1克砝码的母函数为1+x 单独2克砝码的母函数为1+x2，单独3克砝码的母函数为1+x3,单独4克砝码的母函数为1+x4。,2.8：整数的拆分,（1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10,
