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1、1、数列的定义:,按某种规律以正整数编号排列的一列数,记作,称为数列。,知识回顾,2、数列极限的定性描述,一个确定的常数A,增大时的极限，,收敛于a,或称数列,记为,或,则称常数A为数列,当n无限,若当n无限增大时,或称数列发散,则称数列,的极限不存在，,C=C（常数列的极限就是这 个常数）设a0，则特别地 设q(-1，1)，则 qn=0；或 不存在。,几个常用极限,2.1.3函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,沿x轴的正向与负向同时无限远离原点,沿x轴的正向无限远离原点,沿x轴的负向无限远离原点,x从x0点的左侧趋向于x0,x从x0点的右侧趋向于x0,x从x0点的两侧趋向于x0,函数极限
2、主要讲两个内容:,1、自变量趋于无穷大时函数的极限2、自变量趋于有限值时函数的极限,1、自变量趋于无穷大时函数的极限 直观定义:设 在()时有定义,若 无限增大时,无限趋近于确定常数A,则称 时,以A为极限,记为,由极限的直观定义可知,所以f（x）=,的极限是0,记为：,例：当 时，研究f（x）=的极限。,直观定义:设函数 在点 的某一邻域内有定义(点 可以除外),若 以任意方式趋近于 时,无限趋近于确定常数,则称 时,以 为极限.记为,2、自变量趋于有限值时函数的极限,函数的左右极限的定义,函数的左右极限统称为单侧极限,记作：,记作：,函数的左右极限的定义,定理：,例 设函数,讨论,时,的极
3、限是否存在.,解:利用定理 结合图示法.因为,显然,所以,不存在.,讨论分段函数在分段点处的极限时，当分段点两侧函数表达式不同时，要用左右极限讨论,解：,因为：,2.2极限的运算法则,则有,法则1：若,法则2：若,则有,法则 3：若,且 B0,则有,推论 1.,(C 为常数),推论 2.,(n 为正整数),特别：若,则有,例1求,解：原式=,例2求,解：原式,解运用法则1、2及推论可得:,例3,因此,解：因为,例 4,，在分式里分母不能为0，,所以要对分子和分母进行因式分解，得：,作业3 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.
4、,例 6,2.3极限存在准则与两个重要极限,1.夹逼准则(两边夹定理）,一 极限存在准则,定理 如果函数g（x）、f（x）及 h（x）满足下列条件:,那么函数f（x）的极限存在,例1,解,由夹逼准则得,2.单调有界准则,几何解释:,证：,(舍去),二、两个重要极限,1、,BD弧BCAC,sinxxtanx,上式同时除以sinx,得：,再进一步处理，得：,上式子对于,也成立,由于,由夹逼准则得：,例1.求,解:,例2（1）,解:,2、,定义,2、无穷大量,1、无穷小量,2.4、无穷小与无穷大,无穷小的比较,3、无穷小的比较,当,1、无穷小量,定义1.若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为
5、无穷小;,函数,时为无穷小;,为,时的无穷小 量.简称无穷小,2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,3、常数与无穷小的乘积是无穷小.,4、有限个无穷小的乘积是无穷小.,无穷小运算法则,1、有限个无穷小的代数和还是无穷小,说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!,其中 为,时的无穷小量.,定理 2.1.(无穷小与函数极限的关系),注：,时结论也成立。,定义2.若,时,函数,的绝对值无限增大，,为,时的无穷小大量.简称无穷大,则称,记为：,2.4.2无穷大,2、极限非零的变量与无穷大之积仍为无穷大,3、无穷大与无穷小之积仍为无穷大,无穷大的性质,1、有界变量与无穷大之和仍为无穷大,无穷小与无穷大的关
6、系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2.2.在自变量的同一变化过程中,说明:,例：求,解(由无穷小与无穷大的关系)x=1 时,分母=0,分子0,因,、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义2.11：,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是 的高阶无穷小，记作=0（）,是 的低阶无穷小,是 的同阶无穷小,是 的等价无穷小，记为,是 的 k 阶无穷小,等价无穷小替换,定理2.3(等价无穷小替换定理),证,常用等价无穷小:,例1,解,例2,解,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)极限四则运算法则,注意使用条件,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(分母不为 0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,“抓大头”,4.无穷小的比较,3.两个重要极限,
