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1、二维随机变量及其分布,第三章,二维随机变量及其联合分布,边缘分布与独立性,两个随机变量的函数的分布,例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。,不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。,设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（X，Y）为上的一个二维随机变
2、量。,定义,二维随机变量,二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点,二维随机变量的联合分布函数,若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.,定义,称为二维随机变量的联合分布函数,性质,(3),P（x1 X x2，y1 Y y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1),联合分布函数表示矩形域概率,P（x1 X x2，y1 Y y2）,F(x2,y2),-F(x2,y1),-F(x1,y2),+F(x1,y1),二维离散型随机变量,若二维 随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。,如何反映（X，Y）的取值规律呢
3、？,定义,研究问题,联想一维离散型随机变量的分布律。,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,表达式形式,表格形式（常见形式）,性质,的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).,，(1/3)(2/2)1/3，(2/3)(1/2)1/3，=(2/3)(1/2)1/3，,例,解,见书P69，习题1,的可能取值为,例,解,(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，（2，0）,（X，Y）的联合分布律为,若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数 可表示成如下形式,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.,二维连续型随机变量的联合概率密度,定义,联合概率密度函数的性质,非负性,几何解释,.,.,随机事件的概率=曲顶柱体的体积,设二维随机变量,的概率密度为,(1)确定常数 k；,；,.,(4)求,例,(1),所以,解,(2),当 时，,当 时，,所以，,(3),或解,(4),解,续解.,x+y=3,1,解答,二维均匀分布,思考 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域。求（1）分布函数；（2）,解（X,Y）的密度函数为,（1）当 时，,分布函数为,（2）当 时，,（3）当 时，,所以，所求的分布函数为,-1/2,二维正态分布,
