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1、1,第二章 自动控制系统的数学模型,2-1 控制系统微分方程的建立,2-2 非线性微分方程的线性化,2-3 传递函数(transfer function),2-4 动态结构图,2-5 系统的脉冲响应函数,2-6 典型反馈系统传递函数,2,自动控制原理课程的任务与体系结构,3,时域模型微分方程复域模型传递函数频域模型频率特性（第五章）,自动控制系统的数学模型,4,分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气
2、的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,概述（1）,5,3.建模方法:建立数学模型的方法分为解析法和实验法(1)解析法本课研究,概述（2）,解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式。,实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。,(2)实验法 系统辩识课研究,6,总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见
3、的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。,4.数学模型的主要形式:图 模 型：结构图 数学模型：微分方程（或差分方程）、传递函数、频率特性、状态空间表达式,概述（3）,7,5.“三域”模型及其相互关系,概述（4）,8,2-1控制系统微分方程的建立,3.消去中间变量，得到输出量与输入量关系的微分方程。标准化微分方程，惯例把与输入量有关各项写在方程右边,把输出量有关各项写在方程左边,方程两边各导数项均按降幂排列。,返回子目录,基本步骤：,分析各元件的工作原理，确定元件的输入量和输出量(必要时还需考虑扰动输入量和引入中间变量),2.从输入端开始，根据各元件在工作过程中所遵循的物
4、理或化学定律列出微分方程。,9,列写微分方程的一般方法,例1.列写如图所示RC网络的微分方程。,10,i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:,令（时间常数），则微分方程为：,解:(1)确定输入:ur 输出:uc,(2)列原始方程 由基尔霍夫定律得:,(3)消去中间变量 并标准化,它是一个一阶线性定常微分方程。,11,例2 求RLC电路的微分方程,解:(1)确定输入:ui(t)输出:u0(t),(2)列原始方程设 i(t)为流过电阻R和电容C上的电流。根据基尔霍夫定律：,(3)消去中间变量 并标准化,T称为时间常数,为阻尼比。是二阶线性定常微分方程。,例3.设有一弹簧-质量-阻尼动
5、力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。,13,分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力-Ky（t）阻尼力-,解:(1)确定输入:F(t)；输出:y(t),(2)列原始方程：,所以，牛顿第二定律，SF=ma,14,式中：ym的位移（m）；f阻尼器的阻尼系数（Ns/m);K 弹簧弹性系数（N/m)。,(3)标准化,，则式 可写成,令，即,15,T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了mKf系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。,16,例4 电枢控制的
6、他励直流电动机,建立输入电压ua和输出转角m微分方程.,解:(1)确定输入输出量:输入量:给定输入-电枢电压ua 输出量:电动机转角m,(2)列写原始方程引进中间变量、,17,(3)从式(2-8)(2-11)中消去中间变量 并标准化,可见,数学模型是由系统结构,元件参数以及基本运动规律所决定的。同一系统，从不同角度研究数学模型不一样。,18,列写微分方程要注意：确切反映系统的动态性能，忽略次要因素，简化分析计算。在一般情况下，描述线性定常系统的微分方程为C(t)为输出量，r(t)为输入量，所有系数为实常数。对实际系统有nm。,返回,19,22 非线性微分方程的线性化,严格地说，实际控制系统的某
7、些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。对于不太严重的非线性系统，在一定的条件下或在一定范围内把非线性的微分方程化为线性模型的处理方法称为非线性微分方程的线性化。,返回子目录,在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。,20,于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。一、对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为线性特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为线性特性，如图中虚线所示。二、平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关
8、系具有如下图所示的非线性特性。,21,假设：y=f(x)，且x，y在平衡点（x0，y0)附近变化，即 x=x0+x,y=y0+y则在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：,考虑控制系统经常工作在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在平衡点A附近作小范围的变化，可在平衡点A处将非线性函数展开为泰勒级数，忽略去二阶以上导数项，可得只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法。,（1）单变量的非线性系统,22,于是可用A处的切线方程代替曲线方程(非线性)y=f(x)，即小偏差线性化。,为书写方便，简记为 y=kx。,23,经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使
9、问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。凡是可以进行线性化的系统，可采用叠加原理来分析系统。,（2）双变量的非线性系统 zf（x,y）若非线性函数由两个自变量，同样可在平衡点处（x0,y0）展成泰勒级数展开为,略去二级以上导数项，并令zz-f(x0,y0),简记为,24,叠加原理,叠加原理含有两重含义，即可叠加性和齐次性（或叫均匀性）。,例：设线性微分方程式为,注意:(1)小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。(2)实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能在小范 围内变化。(3)线性化方程中的系数k与工作点有关。(4)严重的非线性不能用小偏差法，用第7章
10、的方法。,25,若 时，方程有解，而 时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为，即为可叠加性。,上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。,若 时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。,若 时，方程有解，而 时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为，即为可叠加性。,26,线性定常微分方程求解,微分方程求解方法,初条件,27,用拉氏变换方法解微分方程,L变换,系统微分方程,L-1变换,28,复习 拉普拉斯变换有关内容（1）,拉氏变换定义
11、2.常用函数的拉氏变换 L(t)=1 Ltn-1/(n-1)!=1/sn L1(t)=1/s Le-at=1/(s+a)Lt=1/s2 Lsint=/(s2+2)Lt2/2=1/s3 Lcost=s/(s2+2）,F(s)像函数f(t)原函数,29,复习 拉普拉斯变换有关内容（2）,3.拉氏变换基本定理线性定理 位移定理 延迟定理终值定理初值定理微分定理积分定理,30,4 拉氏反变换,（1）定义式,（2）分解部分分式法,解.,复习 拉普拉斯变换有关内容（3）,31,用留数法分解部分分式,其中：,一般有,设,I.当 无重根时,复习 拉普拉斯变换有关内容（4）,32,解.,解.,复习 拉普拉斯变换
12、有关内容（5）,33,复习 拉普拉斯变换有关内容（6）,34,II.当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),复习 拉普拉斯变换有关内容（7）,35,解.,复习 拉普拉斯变换有关内容（8）,36,5.用拉普拉斯变换求解微分方程,用拉氏变换求解微分方程的一般步骤是：对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，使微分方程变成以s变量的代数方程；求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；将象函数展开成部分分式；对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的解。,复习 拉普拉斯变换有关内容（9）,例 6.已知系统的微分方程为,37,解：对微分方程进行拉氏变换得,复习 拉普拉斯变换有关内容（10）,38,控制系统的数学模型,时域模型 微分方程线性元件及线性系统微分方程的编写非线性微分方程的线性化 微分方程的求解 复习 拉普拉斯变换有关内容,课程小结(1),39,1 拉氏变换的定义,（2）单位阶跃,2 常见函数L变换,（5）指数函数,（1）单位脉冲,（3）单位斜坡,（4）单位加速度,（6）正弦函数,（7）余弦函数,课程小结(2),40,3.拉氏变换基本定理线性定理 位移定理 延迟定理终值定理初值定理微分定理积分定理,课程小结(3),41,课程作业：第二章（1）,2-1(2)(4)(5)，2-3(3)(4)2-4,
