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1、,自动控制原理,主讲：吴仲阳,第四章 线性系统的时域分析,1 绘制根轨迹的两个条件,2 绘制根轨迹的基本规则,3 参数根轨迹,退出,退出,根轨迹法概述研究自动控制系统的主要问题之一，是确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系，其次是研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响。根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,退出,退出,根轨迹法概述研究自动控制系统的主要问题之一，是确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系，其次是研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响。
2、根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,退出,绘制根轨迹的两个条件当系统的特征方程式为：其中：“+”号对应负反馈，“-”号对应正反馈。将式改写成 式和式便是用来绘制反馈系统的根轨迹方程。其中式为绘制负反馈系统的根轨迹方程，式为绘制正反馈系统的根轨迹方程。,退出,另外，应用根轨迹方程式和式绘制根轨迹之前，需将开环传递函数 G(s)化成通过极点与零点表达的标准形式，即,式中：k绘制根轨迹的可变参数，称为参变量；pj(j=1,2,n)为系统的开环极点；zi(i=1,2,m)为系统的开环零点；,退出,绘制
3、根轨迹的两个条件（续）由式得：式和式是负反馈系统根轨迹上每个点都应同时满足的两个公式。由式得：,退出,绘制根轨迹的两个条件（续）式和式是正反馈系统根轨迹上每个点都应同时满足的两个关系式。式、式称为幅值条件，式、式称为相角条件。,退出,绘制根轨迹的两个条件（续）幅值条件和相角条件是用图解法求系统特征根的基本关系式，它表明当 s 平面的点在同时满足这两个条件时，就是所研究系统在给定参数值（例如开环增益）下对应的特征根，所以，在 s 平面上系统的参数k从零到无穷大变化时，凡是满足相角条件的点所构成的图形就是根轨迹图。然后，根据幅值条件定出这些点所对应的参数值。参数k可以是系统的开环增益，也可以是系统
4、的其它参量。,退出,绘制根轨迹的基本规则反馈系统的根轨迹是根据根轨迹方程的相角条件绘制的，但相角条件因为正反馈和负反馈而有两个，于是对应的根轨迹也有两种形式。按相角条件式绘制的根轨迹称为180根轨迹，而按照相角条件式绘制的根轨迹称为0根轨迹。,退出,绘制180根轨迹的基本规则（1）根轨迹的分支数根轨迹在s平面上的分支数等于控制系统特征方程的阶数n，换句话说，根轨迹的分支数与闭环极点的数目相同。,退出,（2）根轨迹的起点与终点根轨迹起始于开环极点，终于开环零点。如果开环极点数目n 大于开环零点数目m 时，则有 n-m 条根轨迹终止于无穷远处。,退出,（3）根轨迹的连续性与对称性根轨迹是连续且对称
5、于实轴的曲线。,退出,（4）实轴上的根轨迹实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数与开环实零点数的总数为奇数的线段。简记为“奇是偶不是”。,退出,（5）根轨迹的渐近线如果控制系统的开环零点书m 少于开环极点数n 时，渐近线有n-m 条，这些渐近线在实轴上交于一点。渐近线与实轴交点坐标为 渐近线与实轴正方向的夹角为,退出,退出,做长除法并取高次项，得,退出,退出,（6）根轨迹与实轴的交点（分离点与会合点）根轨迹与实轴的交点（分离点与会合点）是当开环传递函数为,退出,根轨迹与实轴的交点是下述方程的根（11）或分离点d为下述方程的解（12）说明：若在实轴上两个相邻的开环极点或两个相邻的开环零点之间的
6、区域为根轨迹区间，则在这区间内至少有一个分离点。分离点方程的解并不都是分离点的坐标，若为实分离点，则应位于实轴上的根轨迹区间内，若为复分离点，则应满足2k的相角条件。,退出,退出,退出,退出,退出,（7）根轨迹复数极点（或零点）的出射角（或入射角）根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角称为出射角，而其进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角称为入射角。,退出,退出,出射角为（简记“加零去余极”）入射角为（简记为“加极去余零”）式中：所考虑的极点的出射；所考虑的零点的入射角。,退出,（8）根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴交点说明该系统有部分根是纯虚根，因此，将 代入 特征方程式就可
7、得出实部和虚部方程组：（15）从方程组中解出 就是根轨迹与虚轴交点坐标，同时还可以求出与此交点相应参数 k 的临界值kc。说明：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表中必出现全为零行，由辅助方程确定交点，进而求得kc。,退出,（9）闭环极点的和与积设闭环控制系统的特征方程式为 假设它的根为 则 根据代数方程根与系数间的关系，可得,退出,（10）开环增益K 的求取对应根轨迹上每一点系统参数，可按下式计算：开环传递函数在绘制根轨迹中的标准式为,退出,开环增益的定义为,得开环效益可按式（18）到式（21）按需求求取,退出,例题：1.(教材例4-4)系统开环传递函数 试绘制系统根轨迹。,退出,退出,解：
8、1.按规则1，由于上述系统的特征方程的最高阶次为四，因此其根轨迹有四个分支。2.按规则2，根轨迹的四个分支起始于四个开环极点，即当k时，它们均伸向无穷远。因为,开环零点数m0，nm4。3.按规则3，根轨迹的四个分支连续且对称于实轴。,退出,4.作出开环零，极点分布图如图所示。按规则4，对该系统来说，实轴上属于根轨迹的线段，只能是0 2.73。5.按规则5，可由式，即 来求根轨迹与实轴的交点，本题只有分离点，用凑试法求得分离点-2.05。,退出,退出,6.按规则6，该系统当k时，由于nm4，则渐近线共有四条。这些渐近线与实轴正方向的夹角由公式求得为 这些渐近线与实轴的交点坐标，可由公式：求得，代
9、入已知数据，求得，渐近线与实轴的交点坐标为(1.18，j 0)。,退出,7.按规则7，根轨迹离开开环复极点的出射角按式(421)求，代入已知数据，得由根轨迹的对称性可直接得出。8.按规则8，将sj代进系统的特征方程得从而得实部方程，虚部方程分别为,退出,9.按规则9，由式(424)，得由式(425)，得10.按规则10，由于给定系统为I型系统，故应用式(418)，得代入数据得至此，即可绘出大致根轨迹。,退出,绘制0根轨迹的基本规则绘制0根轨迹需按相角条件式（8）绘制，因此，它与绘制180根轨迹不同之处表现在和相角条件有关的一些基本规则上。具体来说，在绘制180根轨迹的基本规则（4）、（5）、（
10、7）、（8）上二者将有所不同，需作如下修正：绘制0度根轨迹的基本规则为：（4）实轴上的根轨实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为偶数的线段，注意零属于偶数。（简称为偶是奇不是）,退出,（5）根轨迹的渐近线如果控制系统得开环零点数m少于开环极点数n时，渐近线共有n-m条，这些渐近线在实轴上交于一点。渐近线与实轴的交点坐标为渐近线与实轴正方向的夹角为,退出,（7）根轨迹的入射角与出射角始于开环复数极点的0根轨迹的出射角 和止于开环复数零点的0根轨迹的入射角 分别按下式计算，即,退出,（8）根轨迹与虚轴的交点绘制180根轨迹的10条规则，除上述四条作相应的修改外，其余六条对绘制
11、0根轨迹完全适用。,退出,例题2.(教材例4-5)系统开环传递函数 试绘制系统根轨迹。,解：1.按规则1，由于该系统的特征方程为代入已知数据，整理得特征方程的最高阶次是4，因此根轨迹有四条分支。2.按规则2，由于根轨迹的四个分支起始于四个开环极点，即 当k时，它们均伸向无穷远，这是因为nm4的缘故。,退出,3.按规则3，根轨迹四个分支连续且对称于实轴。4.作出开环零，极点分布图如图所示。按规则4，对该系统来说，实轴上属于根轨迹的线段只能是，1，、1，4、4，三个线段，注意，零被认为是偶数。,退出,退出,退出,5.按规则5，根轨迹分离点的坐标可按下式计算，即代入数据整理得应用凑试法最后得分离点坐
12、标为(2.225，j0)。,退出,6.按规则6，该系统当k时，根轨迹的渐近线共有4条。这是因为nm4。上述四条渐近线与实轴的交点坐标为它们与实轴正方向的夹角为,退出,7.没有复极点、零点，故不用求入射角与出射角。8.按规则8，求根轨迹与虚轴的交点。控制系统的特征方程是令 得实部方程，虚部方程分别为解虚部方程得(不符合题意)；将 代入实部方程得k16不符合题意，因此，根轨迹与虚轴无交点。,退出,9.按规则9，闭环极点之和为之积为10.按规则10，由于无，其相应的无。至此，即可绘出大致根轨迹图。,退出,例题3.(教材习题4-12)已知系统开环传递函数 试绘制系统的根轨迹。,退出,解：将上式所示开环
13、传递函数化成标准形式，得将上式代入（负反馈），得根轨迹方程为上式说明本系统的根轨迹方程为正反馈的根轨迹方程，该系统的根轨迹必须按0根轨迹的绘制规则绘制。注意：这种现象只有非最小相位系统中才可能出现，故在绘制非最小相位系统的根轨迹图时，需特别小心。,退出,1.按规则1，由于本系统得特征方程为知本系统根轨迹有两个分支。2.按规则2，根轨迹起始于，终止于 及无穷远点。3.按规则3，根轨迹连续且对称实轴。4.按规则4，做出开环零、极点分布图如图所示。按规则4（偶是奇不是）知，根轨迹在实轴上的线段为（2）及（0-4）。,退出,5.按规则5，渐近线与实轴交点的坐标为渐近线与实轴正方向的夹角为即渐近线与实轴
14、正方向重合。6.按规则6，由 得 其中，a1为会合点坐标，a2为分离点坐标。,退出,7.按规则7，因无复数极点与零点，故不需求出出射角与入射角8.按照规则8，求与虚轴交点及临界参变量。令 代入特征方程，得解得：9.按规则9，有闭环极点之和闭环极点之积10.按规则10，由于给定系统为型系统，故根据上面求得的各项数据，绘制的给定系统的根轨迹如上图所示。从上图可见，当00.5时，系统不稳定工作。,退出,退出,参数根轨迹在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为可变参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按需要加以选择，并称以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹成为反馈系数的参数根轨迹。反馈系统参数根轨迹的绘
15、制步骤是，首先将系统的特征方程 整理成如下形式的根轨迹方程，即,退出,式中 以s 和参数X 为自变量的开环 传递函数；X 非开环增益的参变量；不含参变量X 的复变量s 的多 项式，其中s 最高次幂项的系数需 化成+1，即需将化成开环 传递函数的标准形式，即,退出,其次，根据式（27）右侧是-1，按绘制180根轨迹规则绘制，式（27）右侧是+1按照0根轨迹规则绘制。同绘制以开环增益为参变量的普通根轨迹一样，来绘制参变量是x=0的参数根轨迹。下面举例消化如下：例题4.(教材例4-9)已知系统的特征方程为，试画出以a为参变量的根轨迹图，并求出使阻尼比为0.5时a 的值。,退出,解：1.恰当处理用 去
16、除特征方程的两边得即其中2.按绘制180根轨迹规则，绘制参量根轨迹(1)按规则1，由于特征方程最高阶次为3，因此其根轨迹有三个分支。,退出,(2)按规则2，根轨迹的三个分支连续且对称于实轴。(3)按规则3，根轨迹的三个分支起始于三个开环极点，即。由于m0，当a 时，三条根轨迹分别趋向无穷远。(4)作出开环零，极点分布图如图所示，按规则4，整个负实轴都是根轨迹上的点。(5)按规则5，求根轨迹的会合点。由,退出,退出,(6)按规则6，根轨迹的渐近线有nm3条。其与实轴的交点是(，0)，其中与实轴正方向的夹角是(7)没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。,退出,(7)没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。(8)按规则8，求根轨迹与虚轴的交点，将s j代入特征方程得得实部，虚部方程分别为因此，根轨迹与虚轴的交点是2j。,退出,3.求 时，a 的值由于 由相角条件，结合图420 得则。因此，OCD为直角三角形，OD2则OC1，OA0.5，AC0.866。C点坐标为，0.50.866 j由幅值条件,退出,
