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1、第五章 弯曲变形,5-1 梁的位移-挠度及转角,一、工程实例,但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要.,例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.,1.挠度,二、基本概念,横截面形心 C（即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.,2.转角,横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用 表示,3.挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线.,式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度.,挠曲线,挠曲线方程（equation of deflection curve）为,4.挠度与转角的关系
2、,称为转角方程,5.挠度和转角符号的规定,挠度向下为正,向上为负.,转角自x 转至切线方向,顺时针转为正,逆时针转为负.,5-2 挠曲线的近似微分方程及其积分法,一、推导公式,1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系,横力弯曲时,M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则,2.由数学得到平面曲线的曲率,在规定的坐标系中,x 轴水平向右为正,w轴竖直向下为正.,曲线下凹上凸时:,曲线上凹下凸时:,此式称为 梁的挠曲线近似微分方程,与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为,二、用积分法求弯曲变形,一、微分方程的积分,若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成,2.再积分一次,得挠度方
3、程,二、积分常数的确定,1.边界条件,2.连续条件,1.积分一次得转角方程,y,例题 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁,在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度 和最大转角,（1）弯矩方程为,解：,（2）挠曲线的近似微分方程为,对挠曲线近似微分方程进行积分,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,边界条件,将边界条件代入（3）（4）两式中,可得,解:由对称性可知,梁的两个支反力为,此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,梁的转角方程和挠曲线方程分别为,边界条件x=0 和 x=l时,在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，,最大转角和最大挠度分别为,在梁
4、跨中点处有最大挠度值,例题 图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.,解:梁的两个支反力为,两段梁的弯矩方程分别为,两段梁的挠曲线方程分别为,（a）（0 x a）,挠曲线方程,转角方程,挠度方程,挠曲线方程,转角方程,挠度方程,（b）（a x l）,D点的连续条件,边界条件,代入方程可解得:,（a）（0 x a）,（b）（a x l）,将 x=0 和 x=l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角,当 a b 时,右支座处截面的转角绝对值为最大,当 a b时,x1 a 最大挠度确实在第一段梁中,梁中点 C 处的挠度为,
5、结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无 拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.,（a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项.,（b）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量.从而简化了确定积分常数的工作.,53 用叠加法求弯曲变形,梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.,一、叠加原理,1.荷载叠加
6、多个荷载同时作用于结构而引起的变形等于每个荷载单独作用于结构而引起的变形的代数和.,2.结构形式叠加（逐段刚化法）,按叠加原理求A点转角和C点挠度.,解:（a）荷载分解如图,（b）由梁的简单荷载变形表,查简单荷载引起的变形.,B,（c）叠加,例题 一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角A,B。,解:将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示,例题 试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角A,B.,解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加.,（1）正对称荷载作用下,（2）反对称荷载作用下,在跨中C截
7、面处,挠度 wC等于零,但 转角不等于零且该截面的 弯矩也等于零,可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l/2 的简支梁,可得到：,将相应的位移进行叠加,即得,例题 一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角B以及A端和BC中点D的挠度wA 和wD.,解:将外伸梁沿B截面截成两段,将AB 段看成B端固定的悬臂梁,BC段看成简支梁.,B截面两侧的相互作用为：,简支梁BC的受力情况与外伸梁AC 的BC段的受力情况相同,由简支梁BC求得的B,wD就是外伸梁AC的 B,wD,简支梁BC的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加.,由叠加原理得:,（
8、1）求 B,wD,（2）求wA,由于简支梁上B截面的转动,带动AB段一起作刚体运动,使A端产生挠度w1,悬臂梁AB本身的弯曲变形,使A端产生挠度w2,因此,A端的总挠度应为,由附录4查得,55 刚度条件,1.数学表达式,2.刚度条件的应用,（1）校核刚度,（2）设计截面尺寸,（3）求许可载荷,例 下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的E=210GPa,工程规定C点的w/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度.,解:（1）结构变换,查表求简单载荷变形.,（2）叠加求复杂载荷下的变形,（3）校核刚度:,（rad）,二、提高弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形
9、的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以,要想提高弯曲刚度,就应从上述各种因素入手.,一、增大梁的抗弯刚度EI,二、减小跨度或增加支承,三、改变加载方式和支座位置,（1）增大梁的抗弯刚度EI,工程中常采用工字形,箱形截面,为了减小梁的位移,可采取下列措施,（2）调整跨长和改变结构,设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角.这是提高梁的刚度的一个很有效的措施.,桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值.,同时,由于梁的外伸部分的自重作用,将使梁的AB跨产生向上的挠度,从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分,而有
10、所减小.,增加梁的支座也可以减小梁的挠度.,5-6 梁内的弯曲应变能,本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。,等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率 为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为,(a),(b),图b示出了其线性关系。图b中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中，外力偶所作的功：,它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：,将 代入上式可得,梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不计。梁在横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为,从而全梁内的弯曲应变能为,式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。,顺便指出，由于直梁横力弯曲时，因此上式也可写作,
