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1、行 列 式,第1节 矩阵概念的引入第2节 排列及其奇偶性第3节 行列式的定义第4节 行列式的简单使用与对角线法则第5节 行列式的计算与性质第6节 行列式的降价处理及拉普拉斯定理,第6节 行列式的降价处理：按行、列展开,降阶、降级处理是数学处理的基本思路之一。对n阶行列式也可使用这一思路：将n阶行列式变成n-1阶行列式进行处理，从而可层层降阶到低阶行列式进行处理，这便是行列式的按行或按列展开。,一 特殊行列式的降阶处理一般行列式的按行、按列展开特殊行列式的计算拉普拉斯定理,例：证明,(降阶处理),左端,右端,一 特殊行列式的降阶处理,更一般地，如下行列式能否降阶处理？,又因,综上，有,一般行列式
2、的按行展开,定义：对如下形式的行列式划掉第i行与第j列元素后所得的如下行列式称为元素 aij 的余子式，记为 Mij.,(若记 并称 Aij 为 aij 的代数余子式),上式表明，任意n阶行列式都可按其某一行展开成该行元素与其代数余子式的积的和的形式，并称上式为行列式的按第 i 行展开式。由于Aij 可通过计算一个n-1阶行列式得到，从而上式也表明了行列式可进行降阶处理。,按第 j 列展开行列式,？,两个行列式只在第 i 行上的元素不同。,0,综上分析可得:1)当k=i时，上式左端是行列式按第i行的展开式；2)当ki时,上式左端表示的是行列式的第k行元素与另一行,即第i行元素的代数余子式相乘。
3、其结果必然为0.,定理：设,例：,例：计算行列式,注 意 行列式按行、列进行展开的着眼点不在于减少计算量，而在于其理论意义。当然在手算具体确定的行列式时，当行列式的某些行与列有大多数 0 时，能有效化简计算，但这种做法却没有通用性。,三 特殊行列式的计算,(n-1行乘-a1 加到第n行；n-2行乘-a1 加到第n-1行，余类推),1 范德蒙德行列式,(上边最后一式右边又是一个 n-1 级的范德蒙德行列式),从而有（归纳证明），,2,结论可借助矩阵的按行、列展开用数学归纳法给予严格证明.,从而等式右侧,等式右端。,四 拉普拉斯定理,1 k级子式 及 k级子式的余子式与代数余子式,定义：在一个 n
4、 级行列式中任意选定 k 行 k 列：位于这些行和列的交点上的 k*k个元素按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M 称为行列式 D 的一个 k 级子式。当 kn 时，在 D 中划去这 k 行 k 列所有元素后余下的元素按照原来的次序组成的 n-k 级行列式 M 称为 k 级子式 M 的余子式。余子式前加符号,即称为M的代数子式，其中 为所选定的 k 行的行指标与 k 列的列指标。,例：,余子式,互 余,M 的代数余子式为:,2 拉普拉斯定理 设在行列式D中任意取定了k(1kn-1)个行。由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积和等于行列式D。,例：计算行列式,按拉普拉斯定理计算,按拉普拉斯定理计算,（选取2,4行）,利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的。这个定理主要是在理论方面应用.,3 拉普拉斯定理的应用行列式乘法定理,证明：等式左边等于 2n 级行列式 D,证毕。,
