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1、,行列式的展开 计算行列式的一种思路是化为三角形 行列式求值，另一种思路则是化为较低 阶行列式求值，其依据就是行列式的展 开。,定义1.4 在n阶行列式D中，若化掉元素 所在的第i行与第j列，则称剩余元素构成的n-1阶行列式为元素 的余子式，记为；并称 为元素 的代数余子式，记为n阶行列式共有 个元素，有 个代数余子式。,例1 已知四阶行列式，写出元素 的余子式 与代数余子式。解：，,对于三阶行列式三组同学分别计算第一组：第二组：第三组：结论：,定理1.2 n阶行列式D等于它的任意一行（列）各元素与其代数余子式乘积之和，即,计算n阶行列式时，只须应用其中一个关系式,例2 已知4阶行列式D中第二
2、行的元素自左向右依 次为4，3，2，1，它们的余子式分别为5，6，7，8，求4阶行列式D的值。解：,例3 计算四阶行列式解：=,（按第2列展开）,例4 计算四阶行列式,例5 计算四阶行列式,例6 计算n阶行列式,例7 计算n阶行列式,1.4 克莱姆法则,行列式的一个重要应用就是解线性方程组。本节我们就从最简单的二元线性方程组入手，讨论如何运用行列式解线性方程组。,对于二元线形方程组当 时，此线形方程组仅有唯一解,用行列式表示：,当 时，此线性方程组的唯一解为,（系数行列式）,克莱姆法则 已知有n个线性方程式构成的n元 线性方程组令其系数行列式为,系数行列式中第1，2，n列元素分别用线性方程组常
3、数项对应替换后得到的行列式,分别记为：,此时，若，则方程组有唯一解,例1 解线性方程组解：，故此方程组有唯一解,所以，该方程组的解为,例2 解线性方程组,该方程组的解为,注意：1 求出解后，一般应代回方程组检验应用克莱姆法则解线性方程组，计算量 仍很大，后面我们会给出更一般的解 法。,齐次线性方程组：齐次线性方程组的解：显然，所有未知量皆取零，则为齐次线性方程组的一个解，这个解称为零解；此外，若未知量的一组不全为零的值也是它的解，这个解称为非零解。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解，下面给出定理,常数皆为零的线性方程组,定理1.3 已知有n个线性方程式构成的n元齐次 线性方程组,如果有非零解，则系数行列式D=0；如果系数行列式D=0，则有非零解。,例3 已知齐次线性方程组,判断它有无非零解,例4 已知齐次线性方程组,有非零解，求系数k的值。,
