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1、22 三角分解法,2.2.1 杜里特尔分解法求解线性代数议程组的三角分解法，起源于高斯消去法的矩阵形式。高斯消去法消去过程中，将变换后增广矩阵的第k行-c倍加于第i行，相当于左乘初等矩陈,它们都是单位下三角矩阵，即对角元全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去法消去过程，实质是增广矩陈 被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵，即,此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然,这说明，高斯消去法的消去过程，实质上是把系数矩阵 分解为单位下三角矩阵 与上三角矩阵 的乘积，并且求解议程组 的过程。回代过程就是求解上三角形方程组,矩阵 和 也可直接算出。事实上，比较等式 两边等 行、第 列
2、元素可知,注意 是单位下三角矩阵，便知,从而,同样，因 为上三角阵，知,可见,公式（2-2）和（2-3）就是计算 和 各元素的计算公式。实际计算时 的对角元 不必存放，和 中肯定为零的元素也不必存放，因此 的 可共同存放在增广矩阵 的位置：,此时公式（2-2）、（2-3）表明，或 都是原始矩阵 对应元素，减去同行左边 的元素与同列上边 的元素乘积；只是对 的元素，然后需除以 的对角元。计算顺序，通常先算 的第 行，再算 的第 列；也可先算 的第 列，再算 的第 行，如图21所示：,图21 计算顺序,例21 分解，并解方程组，其中,解 按计算公式（2-2）和（2-3）,详细计算过程如下（下文不再
3、写出）：,从而,回代（解方程组），得,分解 且 为单位下三角阵、为上三角阵，称为杜里特尔Dolittlse)分解。利用杜里特尔分解求解方程组 或，相当于解两个三角形方程组,解下三角方程组 可以在分解 时同时完成（如例21），也可独立完成。这是因为，把 写成分量形式，就是,由此可见，,用杜里特尔分解求解方程组（2-1），所需乘除次数与高斯消去法完全一样。其中分解 需 次，解 需 次，解 需 次，共计 次。,它们都是单位下三角矩阵，即对角全为1、对角线上方元素全为零的矩阵。因此不选主元的高斯消去过程，实质是增广矩阵 被左乘一系列倍加矩阵，变成上三角形矩阵,即 此式称为高斯消去法的矩阵形式。由此显然
4、注意 是将单位矩阵,三角分解法常用于求解系数矩阵都是 的若干方程式组,这是因为，一旦完成分解，只需再解 个三角形方程组,解这种三角形方程组每组只需 次乘除法，远比重复使用高斯消去法节省工作量。,为保证三角分解顺序、稳定进行，与高斯消去法一样，也可选,主元。常用列主元法。,.克洛特分解法,当矩阵 可作杜里特尔分解 时,令 为 对角元构,成的对角阵,则,再算第 行；或者先算第 行，再算第 列，如图22所示。克洛特分解法的用法及运算量与杜里特尔分解法相同。例22 用克洛特分解法求解方程组,解,得,解，得解。解毕。,为保证克洛特分解法顺利、稳定进行，也可采用列主元法。求解 步骤如下：,对 做,计算结束
5、时 的第 列就是解 注意：例22中系数矩阵对称：，此时 就是 各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵。一般来说 对称且可作克洛特分解，记 的对角元构成的对角阵为，各列除以对角元构成的单位下三角矩阵为，则,可见，说明 都是 各列除以对角元所得矩阵的转置矩阵；说明对称矩阵 可分解为 或。因此 可由 直接求出，而不必再按公式（24）第二式重复计算。这样分解 可以节省 次乘法，即节约大约一半的运算量。也可不存储。,追赶法 追赶法适于求解对角方程组,这里,其实质是高斯消去法、三角分解法的应用。事实上，将 作克特分解,则易知,回代得,。,按照这些公式次数求解 的方法就称追赶法，其中算 称追，回代称赶，共需乘除法
6、次数为，远比一般方程组的高斯消去法或三角分解法节省运算量。实际问题提出的三对角方程组往往严格对角占优，因此不用选主元，就可保证顺利、稳定进行。,2.2.4 平方根法,平方根法适于求解 对称正定的方程组。此时 的各阶顺序主子式，保证了主元大于零，保证了 可作克特分解 而且 的对角元（也就是主元）全为正数。所以令，则,再记 为，则上式表明。对称正定矩阵 可分解为，即下三角矩阵及其转置矩阵的乘积，利用比较法可得 元素计算公式：,利用这种分解方程组 称为平方根法或乔列斯基(cholesky)分解法。跟前种分解法一样，求解下三角方程组 可在分解 的同时进行。,例23 用平方根法求解例22方程组。,解,故知,解,解毕,平方根法求解方程组，需做 次乘除法和 次开方，比考虑到 对称的克洛特分解法节省 次乘除法但增加 次开方。为避免开主，有人提出了改进平方根法，不过它其实就是考虑到 对称的克洛特分解法，如节最后一段所述。,
