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1、1,第三章 多元线性回归模型,第一节 多元线性回归模型第二节 多元线性回归模型的参数估计第三节 多元线性回归模型的统计检验第四节 利用回归方程进行估计和预测第五节 含虚拟自变量的回归模型第六节 有关问题补充,2,第一节 多元线性回归模型,多元回归模型与回归方程估计的多元回归方程,3,多元回归模型与回归方程,多元回归模型(multiple regression model)一个因变量与两个及两个以上自变量的回归多元回归模型描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1，x2，xp 和误差项的方程涉及 p 个自变量的多元回归模型可表示为0，1，2，p是参数是被称为误差项的随机变量包含在y里面但不能被p个自
2、变量的线性关系所解释的变异性y 是x1，x2，xp 的线性函数加上误差项,4,多元回归模型与回归方程（续1）,多元回归模型的矩阵形式 y=X+其中,y,X,5,多元回归模型与回归方程（续2）,多元回归模型基本假定解释变量x1，x2，xp是确定性变量，不是随机变量，且要求rank(X)=p+1n随机误差项具有0均值和等方差 正态分布的假定条件为 i N(0,2),i=1,2,n 1,2,n 相互独立 N(0,2In),6,多元回归模型与回归方程（续3）,多元回归方程(multiple regression equation)描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖于自变量 x1，x2，xp的方程
3、多元线性回归方程的形式为0，1，2，p称为偏回归系数i表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单位时，y 的平均变动值,7,多元回归模型与回归方程（续4）,8,估计的多元回归方程(estimated multiple regression equation),概念用样本统计量 估计回归方程中的参数 时得到的方程由最小二乘法求得一般形式为 是 的估计值 是 y 的估计值,9,第二节 多元线性回归模型的参数估计,参数的最小二乘估计参数估计量的性质,10,参数的最小二乘估计,方法使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得，即 求解各回归参数的标准方程如下,11,参数的最小二乘估计（续1
4、）,例3-1在例2-1中已建立了中国居民人均消费的一元线性模型。这里考虑建立多元线性模型。在中国，居民消费是在国内生产总值经过初次分配和再分配后形成的，则选择GDPP为解释变量是恰当的。此外，居民消费水平具有一定惯性，即当期消费支出一定程度上受上期消费支出的影响，则模型中再引入CONSP(-1)作为另一解释变量。所以，最终建立二元线性模型。,12,参数的最小二乘估计（续2）,13,参数的最小二乘估计（续3）,14,参数估计量的性质,是随机向量y的一个线性变换 是 的无偏估计,15,参数估计量的性质（续）,有效性在所有无偏估计中，OLS估计的方差最小即在所有无偏估计中，OLS估计最有效虽然用其他
5、方法也能得到线性无偏估计，但是用OLS能够更准确的估计参数一致性最小二乘估计是一致估计即样本越大，估计得越准确这是个大样本性质，在小样本下意义不大,16,第三节 多元线性回归模型的统计检验,拟合优度检验显著性检验,17,拟合优度检验,多重判定系数(multiple coefficient of determination)回归平方和占总平方和的比例计算公式为 因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程所解释的比例,18,拟合优度检验（续1）,修正多重判定系数(adjusted multiple coefficient of determination)用样本容量n和自变量的个数p去修正R2得到
6、 计算公式为 避免增加自变量而高估 R2意义与 R2类似数值小于R2,19,拟合优度检验（续2）,R2与模型的选择在建立计量经济模型时，往往将R2或修正的R2作为评选模型的一个重要标准如果能够兼顾其他的评选标准和模型的经济解释，R2或修正的R2越高越好但有时也会为了模型有一个明确的经济解释必须放弃对高的判定系数的要求，这在宏观计量经济模型中是常见的,20,拟合优度检验（续3）,估计的标准误差对误差项的标准差的一个估计值衡量多元回归方的程拟合优度计算公式为,21,显著性检验-线性关系,概念检验因变量与所有自变量之间的是否显著，也被称为总体的显著性检验检验方法将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平
7、方和(SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的差别是否显著如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系,22,显著性检验-线性关系（续）,步骤提出假设，线性关系不显著，线性关系不显著计算检验统计量F 确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F 作出决策若FF，拒绝H0,23,显著性检验-回归系数,回归系数的检验线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地进行一次或多次检验究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在建立模型之前作出决定对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多的第一类错误(弃真错误)对每一个自变量都要单独进行检
8、验应用 t 检验统计量,24,显著性检验-回归系数（续）,步骤提出假设H0：i=0(自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系)H1：i 0(自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)计算检验的统计量 t 确定显著性水平，并进行决策|ti|t/2，拒绝H0|ti|t/2，不拒绝H0,25,第四节 利用回归方程进行估计和预测,点估计区间估计,26,点估计,y0 N(X0,2)上式得到的估计值 既是E(y0)的点估计值也是y0的点估计值,27,区间估计,E(y0)的置信区间 E(y0)的(1-)置信区间为,28,区间估计（续）,y0的预测区间 y0的(1-)置信区间为,29,第五节 含虚拟自变量的回
9、归模型,虚拟自变量及其回归常数项变化时的虚拟变量系数变化时的虚拟变量,30,虚拟自变量及其回归,虚拟变量(dummy variable)用数字代码表示的定性变量用于表示经济现象中存在的某些不能量化的因素虚拟变量可有不同的水平只有两个水平的虚拟自变量比如，性别(男，女)有两个以上水平的虚拟自变量贷款企业的类型(家电，医药，其他)虚拟变量的取值为0，1,31,虚拟自变量及其回归（续）,虚拟自变量的回归回归模型中使用虚拟自变量时，称为虚拟自变量的回归当虚拟自变量只有两个水平时，可在回归中引入一个虚拟变量比如，性别(男，女)一般而言，如果定性自变量有k个水平，需要在回归中模型中引进k-1个虚拟变量,3
10、2,常数项变化时的虚拟变量,假设有两个回归模型 对于这种仅仅常数项不同，x系数一样的模型，可以通过一个常数项虚拟变量将其统一成一个模型 其中，D取0或1,33,常数项变化时的虚拟变量（续1）,例3-2为研究工资水平与工作年限和性别之间的关系，在某行业中随机抽取10名职工，所得数据如下表,34,常数项变化时的虚拟变量（续2）,考虑工资水平与工作年限的一元回归 回归系数是显著的：p值=0.0163=0.05判定系数R2=53.42%，表明工作年限只解释了工资收入水平变异性的53.42%,35,常数项变化时的虚拟变量（续3）,为了将“性别”引入回归方程，定义 线性关系及两个回归系数均为显著的多重判定
11、系数R2=85.92%，修正多重判定系数R2=81.90%，说明在回归模型中加入“性别”变量后，比不加入这一变量所解释的工资收入水平的变异性大大提高了,36,常数项变化时的虚拟变量（续4）,引进虚拟变量时，回归方程可写为 女(x2=0)：男(x2=1)：参数的含义0：女性职工的期望月工资收入 0+2：男性职工的期望月工资收入 1：工作年限每增加1年，男性或女性工资的平均增加值 2：男性职工的期望月工资收入与女性职工的期望月工资收入之间的差值,37,系数变化时的虚拟变量,设如下两个模型对应不同的经济时期 例如，式(1)可设为经济危机爆发前，式(2)可设为经济危机爆发后，分别对应的消费函数通过一个
12、虚拟变量将其表示为一个模型 变量Dx是虚拟变量和解释变量相乘后得到的解释变量,38,第六节 有关问题补充,Chow检验自变量的选择,39,Chow检验Chows断点检验,基本思想对每个子样本单独拟合方程来观察估计方程是否有显著差异零假设H0：两个子样本拟合的方程无显著差异有显著差异意味着关系中的结构改变方法先把数据分成两个或更多个子样本每个子样本的观测数必须多于方程系数个数对子样本分别拟合方程要求：n2k再对总体样本单独拟合一个方程构造统计量进行检验,40,Chow检验Chows断点检验（续1）,检验统计量 SSE：总体样本的残差平方和SSEi：第i个子样本的残差平方和k：方程中参数的个数对数
13、似然比统计量(LR：Log likelihood ratio)在零假设下，LR近似服从2(m-1)k)分布其中，m为子样本个数,41,Chow检验Chows断点检验（续2）,例3-3已知1950-1987年间美国机动车汽油消费量和影响消费量的变量数值，其中QMG-机动车汽油消费量（单位：千加仑）CAR-汽车保有量PMG-机动车汽油零售价格POP-人口数RGNP-按1982年美元计算的GNP（单位：十亿美元）PGNP-GNP指数（1982年为100）,42,Chow检验Chows断点检验（续3）,注意到从1981年起油价开始下跌，则想检验汽油消费量在1981年前后是否有显著差异 由上表可知，应拒
14、绝零假设认为在1981年前后，汽油消费量受到的影响是不同的即各个因素的影响强弱发生了变化则可以以1981年为界作分段回归,Chow Breakpoint Test:1981F-statistic 2.611886 Probability0.040736Log likelihood ratio 17.92523 Probability0.006422,43,Chow检验 Chows预测检验,基本思想当n2k时适用先对包含前T1个观察值的子样本建立模型然后用这个模型对后T2个观察值的自变量进行预测若实际值与预测值有很大变动，就可以怀疑这两个子样本估计关系的稳定性检验统计量同Chows断点检验,44
15、,Chow检验 Chows预测检验（续）,例3-4续例3-3 由上表可知，应拒绝原假设即实际值与预测值有很大变动说明两个子样本估计关系不稳定,Chow Forecast Test:Forecast from 1981 to 1987F-statistic 2.155063 Probability 0.074452Log likelihood ratio 17.94122 Probability 0.012238,45,自变量的选择,原因选取哪些变量作为自变量引入模型，对模型的优劣有直接的影响作用既不能遗漏重要的自变量，又要防止过多自变量带来的多重共线性相关检验Testadd检验Testdrop
16、检验,46,自变量的选择（续1）,Testadd检验用于对方程引入新的自变量时，检验引入是否对模型有利H0：应将该变量纳入方程Testdrop检验用于在方程忠剔除变量时，检验剔除是否有利于模型的优化H0：应将该变量从方程中剔除,47,自变量的选择（续2）,例3-4续例3-3，考虑到自变量太多，有时会导致多重共线性，此时是否应该剔除pgnp 从检验结果看，p值几乎为零，拒绝原假设，即剔除变量pgnp对模型产生不好的后果,Redundant Variables:PGNPF-statistic 95.62409 Probability 0.000000Log likelihood ratio 52.56742 Probability 0.000000,
