通信原理第2章随机过程.ppt

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1、2.1 随机过程的基本概念2.2 平稳随机过程2.3 高斯随机过程2.4 平稳随机过程通过线性系统2.5 窄带随机过程2.6 正弦波加窄带高斯噪声2.7 高斯白噪声和带限白噪声,第2章 随 机 过 程,返回主目录,通 信 原 理,2.1 随机过程的基本概念,什么是随机过程 随机过程的分布函数 随机过程的数字特征,一、什么是随机过程 1、随机过程：是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合-时间函数。,例：设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解为对一台

2、接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。,角度2：随机过程是随机变量概念的延伸-随机变量在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i(t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值i(t1),i=1,2,n是一个随机变量，记为(t1)。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进

3、行精确的数学描述。,2、随机过程的基本特征（属性）（1）随机过程是一个时间函数；（2）在给定的任一时刻t1，全体样本在t1时刻的取值(t1)是一个不含t变化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。,二、随机过程的分布函数（统计特性）1、一维分布函数：设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T，其取值(t1)是一个一维随机变量，把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率称为随机过程(t)的一维分布函数，简记为F1(x1,t1)，即 F1(x1,t1)=P(t1)x1(2.1-1)2、一维概率密度函数：如果一维分布

4、函数F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，则称f1(x1,t1)为(t)的一维概率密度函数。即有,显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。3、二维分布函数和二维概率密度函数 任给两个时刻t1,t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1),(t2)，称F2(x1,x2;t1,t2)=P(t1)x1,(t2)x2 为随机过程(t)的二维分布函数。如果存在,则称f2(x1,x2;t1,t2)为(t)的二维概率密度函数。,4、n维分布函数和n维概率密度函

5、数 任给t1,t2,tnT,则(t)的n维分布函数被定义为 Fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2,(tn)xn 如果存在 则称fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)为(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。,三、随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。1.数学期望（又名均值或统计平均）设随机过程(t)在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个

6、随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则(t1)的数学期望为,注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)，于是,a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的）摆动中心。均值的性质：（1）设C是常数，则有E(C)=C;(2)设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=C E(X);(3)设X和Y是任意二个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设X和Y是任意二个相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y)此性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。,2.方差-其

7、定义为：,D(t)常记为2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度.均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。,B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)=f2(x1,x2;t1,t2)dx1dx2,式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。（2）（自）相关函数：定义为,3.相关函数 衡量随机过

8、程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)来表示。（1）（自）协方差函数：定义为,（3）（自）协方差函数和（自）相关函数的关系B(t1,t2)=R(t1,t2)-a(t1)a(t2)(2.1-10)若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔,即相关函数是t1和的函数。由于B(t1,t2)和R(t1,t2)是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自

9、相关函数。,（4）互协方差及互相关函数 对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为 B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2)(2.1-11)而互相关函数定义为 R(t1,t2)=E(t1)(t2)(2.1-12),作 业思考题（自作）：P61 3-1，3-2习 题：P61 3-2,2.2 平稳随机过程,平稳随机过程的定义 各态历经性（遍历性）平稳过程的自相关函数 平稳过程的功率谱密度,一、平稳随机过程的定义 1、狭义平稳随机过程（严平稳随机过程）指随机过程的统计特性（n维分布函数和n维概率密度函数）不随时

10、间的推移而变化。即：对于任意正整数n和任意实数t1，t2，tn,，随机过程(t)，tT的n维概率密度函数满足如下关系：fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=fn(x1,x2,xn;t1+,t2+,tn+)则称(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的，具体到它的一维分布,则与时间t无关，而二维分布只与时间间隔有关，即有,(2.2-1),f1(x1,t1)=f1(x1)(2.2-2)f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;)(2.2-3)（以上两式可由式（2.2-1）分别令n=1和n=2,并取=-t1得证。）2、广义平稳

11、随机过程（宽平稳随机过程）,随机过程(t)的均值和方差与时间t无关，而其相关函数只与时间间隔有关；即：则称随机过程(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。,2(t)=2,R(t1,t1+)=E(t1)(t1+)=R(),3、狭义平稳随机过程和广义平稳随机过程的关系 狭义平稳随机过程必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。（因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、二维概率密度有关的数字特征，所以一个严平稳随机过程只要它的均方值E2(t)有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。）通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平

12、稳的，且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。,二、各态历经性（遍历性）平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。即：假设x(t)是平稳随机过程(t)的任意一个实现，(t)的数字特征（统计平均）可由x(t)的时间平均替代，即：,如果平稳随机过程依概率1使下式成立：,则称该平稳随机过程具有各态历经性。“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数）都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需

13、从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,三、平稳随机过程自相关函数 对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。设(t)为平稳随机过程，则它的自相关函数 R()=E(t)(t+

14、)(2.2-8)具有下列主要性质：（1）R(0)=E2(t)=S(t)的平均功率(2.2-9）（2）R()=E2(t)(t)的直流功率(2.2 10),这里利用了当时，(t)与(t+)没有依赖关系，即统计独立，且认为(t)中不含周期分量。（3）R()=R(-)的偶函数(2.2-11)这一点可由定义式（2.2-8）得证。（4）|R()|R(0)R()的上界(2.2-12)考虑一个非负式即可得证。（5）R(0)-R()=2 方差，(t)的交流功率(2.2-13)当均值为0时，有R(0)=2。,四、平稳随机过程的功率谱密度 1、维纳-辛钦关系 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道，

15、随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为 式中，FT()是f(t)的截短函数fT(t)（见图 2-2）所对应的频谱函数。,(2.2-14),图 2-2 功率信号f(t)及其截短函数,假设(t)的功率谱密度为P(w)，(t)的某一实现之截断函数为T(t)，且,我们可以把f(t)看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（2.2-14）来表示。由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即,(2.2

16、-15),(t)的平均功率S则可表示成,因为：,(2.2-16),利用二重积分换元法，即：,此式为“雅可比式”,故：,所以，平稳随机过程的功率谱密度P()与其自相关函数R()是一对傅里叶变换关系,即,上式称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。,2、功率谱密度的性质 根据上述关系式及自相关函数R()的性质，不难推演功率谱密度P()有如下性质：（1）P()0，非负性；（2.2-20）（2）P(-)=P()，偶函数。（2.2-21）因此，可定义单边谱密度P()为 P1()=,0,W 0,W 0,(3)对功率谱密度进行积分，可

17、得平稳过程的总功率：上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。(4)各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性。【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换：,从而得证。,即,例2.2-1 某随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随机变量。（1）求(t)的自相关函数与功率谱密度；（2）讨论(t)是否具有各态历经性。,解(1)先考察(t)是否广义平稳(t)的数学期望为,(t)的自相关函数为,见(t)的数学期望为常数，而自相关函数只

18、与时间间隔有关，所以(t)为广义平稳随机过程。,根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即，则因为,cosc(-c)+(+c)所以，功率谱密度为 P()=(-c)+(+c)平均功率为,(2)现在来求(t)的时间平均。根据式时间平均定义式可得,比较统计平均与时间平均，得，因此，随机相位余弦波是各态历经的。,注意：此题中周期,作 业思考题（自作）：P61 3-3，3-4习 题：P61 3-4,*3-5,2.3 高 斯 过 程,高斯过程的定义及性质 高斯过程的一维概率密度函数 高斯过程的一维分布函数,一、高斯过程的定义及性质 1、定义 若随机过程(t)的任意n维（n=1,2,）分布都

19、是正态分布，则称它为高斯随机过程（或正态过程）。其n维正态概率密度函数表示如下：,fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn),（2.3-1）,b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1,|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数，且,式中,ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即,2、高斯过程的重要性质（1）高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。(2)广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。因为：如果高斯过程是广义平稳的，

20、则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布与时间起点无关。（3）若干个高斯过程之和的过程仍是高斯过程。,（4）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有jk有bjk=0，这时式（2.3-1）变为,=f(x1,t1)f(x2,t2)f(xn,tn),(2.3-2),fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=,也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。（5）高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯过程。,二、高斯过程的一维概率密度函数 1、高斯过程

21、中的一维概率密度函数表达式 可表示为：,式中，a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。,f(x)的曲线如图 2-3所示,图2-3 正态分布的概率密度,2、高斯过程中的一维概率密度函数f(x)特性：(1)f(x)对称于x=a这条直线。(2),且有,（3）a表示分布中心，表示集中程度；f(x)是非单调函数，图形将随着的减小而变高和变窄。（4）当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。,三、高斯过程的一维分布函数 1、定义 当我们需要求高斯随机变量小于或等于任意取值x的概率P(x)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即,这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积

22、分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来。,2、误差函数和互补误差函数（1）误差函数：定义式为,性质：1o 它是自变量的递增函数;2o 具有极值：erf(0)=0，erf()=1；3o 奇函数：erf(-x)=-erf(x)。,性质：1o 它是自变量的递减函数；2o 极值：erfc(0)=1，erfc()=0，3o 非奇非偶函数：erfc(-x)=2-erfc(x)；4o近似公式：当x1时（实际应用中只要x2)即可近似有,（2）互补误差函数：1-erf(x)称为互补误差函数，记为erfc(x),即,erfc(x)=1-erf(x)=,3、概率积分函数和Q函数（1）概率积分函数：概率积

23、分函数定义为,极值：(-)=0；()=1；(0)=1/2；(-x)=1-(x)其中：f(t)为标准正态分布的密度函数,(2.3-10),性质：1o Q(0)=1/2;2o Q()=0 3o Q(-)=1 4o Q(-x)=1-Q(x)x0 5o 当x1时（实际应用中只要x2即可)近似有,（2）Q函数:Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为,5、正态分布函数F(x)的表示（1）用概率积分函数表示：若令新积分变量t=(z-a)/就有dz=dt，则有,4、概率积分函数、Q函数和互补误差函数的关系,(2.3-15),用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的特性有助于

24、今后分析通信系统的抗噪声性能。,F(x)=,（2）用误差函数或互补误差函数表示F(x)若进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/，就有 dz=dt，则不难得到,作 业思考题（自作）：P61 3-5，3-6习 题：P61 3-3,2.4 平稳随机过程通过线性系统,随机过程通过系统（或网络）后的输出 线性系统输出过程的平稳性 系统输入和输出功率谱密度的关系 线性系统输出过程的概率分布,一、随机过程通过系统（或网络）后的输出 通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将

25、是什么样的过程？这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即,vo(t)=vi(t)*h(t)=,(2.4-1),若 vo(t)Vo(),vi(t)Vi(),h(t)H()，则有 Vo()=H()Vi()(2.4-2)若线性系统输入有界且系统是物理可实现的，则 vo(t)=(2.4-3),或,如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程i(t)的每个样本

26、与输出过程o(t)的相应样本之间都满足式（2.4-4）的关系。这样，就整个过程而言，便有,(2.4-4),(2.4-5),二、线性系统输出过程的平稳性-若线性系统的输入过程是平稳的，则输出过程也是平稳的 假定输入i(t)是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程o(t)的统计特性。证明：（1）、输出过程o(t)的数学期望 对式（2.4-15）两边取统计平均，有 Eo(t)=E h()i(t-)d=,式中利用了平稳性假设Ei(t-)=Ei(t)=a(常数)。,又因为 H(W)=,求得 H(0)=,所以 Eo(t)=aH(0)由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的

27、乘积，且Eo(t)与t无关。（2）.输出过程o(t)的自相关函数,Ro(t1,t1+)=Eo(t1)o(t1+)=E,根据平稳性 Ei(t1-)i(t1+-)=Ri(+-)有Ro(t1,t1+)=h()h()Ri(+-)dd=Ro()(2.4-7)可见,o(t)的自相关函数只依赖时间间隔而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。,三.系统输入和输出功率谱密度的关系-系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积 对o(t)的自相关函数进行傅里叶变换,有,令,则有,Po()=,即 Po()

28、=,可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积。这是十分有用的一个重要公式。当我们想得到输出过程的自相关函数Ro()时，比较简单的方法是先计算出功率谱密度Po()，然后求其反变换，这比直接计算Ro()要简便得多。四、输出过程o(t)的概率分布 从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过式（2.4-5），即,（2.4-5）,总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即,由于i(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项i(t-k)

29、h(k)k都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程 仍为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。,作 业思考题（自作）：P61 3-7习 题：P61 3-7，,2.5 窄带随机过程,窄带随机过程的定义及表达式 窄带随机过程同相分量和正交分量的的统计特性 窄带随机过程包络和相位的统计特性,一、窄带随机过程的定义及表达式 1、窄带随机过程的定义 所谓

30、窄带系统，是指其频带宽度f远远小于中心频率fc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器上观察一个实现的波形，则如图2.5-1(b)所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。,图2.5-1 窄带过程的频谱和波形示意,2、窄带随机过程的表达式（1）包络相位形式:(t)=a(t)cosct+(t),a(t)0(2.5-1)式中,a(t)及(t)分别是窄带随机过程(t)的随机包络函数和随机相位函数。wc 是正弦波的中心角频率。显然，这里的a(t)及(t)变化一定比

31、载波coswct的变化要缓慢的多。,（2）正交形式:(t)=c(t)cosct-s(t)sinct(2.5-2)其中c(t)=a(t)cos(t)(2.5-3)s(t)=a(t)sin(t)(2.5-4)c(t)及s(t)分别称为(t)的同相分量和正交分量。,二、窄带随机过程同相分量和正交分量的的统计特性 由窄带随机过程的表达式可以看出，(t)的统计特性可由a(t)、(t)或c(t)、s(t)的统计特性确定。反之，如果已知(t)的统计特性则可确定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的统计特性。,同相分量和正交分量的统计特性 一个均值为零、方差为2的窄带平稳高斯随机过程(t)，它的同相分量 c

32、(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。即有下式成立：E(t)=Ec(t)=Es(t)=0 2=2c=2s R c s(0)=R s c(0)=0(简记为Rcs(0)=Rsc(0)=0）,证明:（1）.数学期望(t)=c(t)cosct-s(t)sinct 求数学期望:E(t)=Ec(t)cosct-Es(t)sinct(2.5-5)因为(t)是平稳的，且已假定其均值为零，也就是说，对于任意的时间t，有E(t)=0，故：Ec(t)=0 Es(t)=0(2.5-6),（2）.自相关函数 R(t,t+)=E(t)

33、(t+)=Ec(t)cosct-s(t)sinct c(t+)cosc(t+)-s(t+)sinc(t+)=Rc(t,t+)cosctcosc(t+)-Rcs(t,t+)cosctsinc(t+)-Rsc(t,t+)sinctcosc(t+)+Rs(t,t+)sinctsinc(t+)式中:Rc(t,t+)=Ec(t)c(t+)(2.5-7)Rcs(t,t+)=Ec(t)s(t+)Rsc(t,t+)=Es(t)c(t+)Rs(t,t+)=Es(t)s(t+)因为(t)是平稳的，故有 R(t,t+)=R(),这就要求式（2.5-7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔有关。若令t=0，则式（2.

34、5-7）应变为 R()=Rc(t,t+)cosc-Rcs(t,t+)sinc(2.5-8)这时，显然应有 Rc(t,t+)=Rc()Rcs(t,t+)=Rcs()所以，式（2.4-8）变为 R()=Rc()cosc-Rcs()sinc(2.5-9)再令 t=/(2wc)(或wct=/2)，同理有 R()=Rs()cosc+Rsc()sinc(2.5-10),其中应有 Rs(t,t+)=Rs()Rsc(t,t+)=Rsc()由以上的数学期望和自相关函数分析可知，如果窄带过程(t)是平稳的，则c(t)与s(t)也必将是平稳的。进一步分析，式（2.5-9）和式（2.5-10）要同时成立，应有 Rc(

35、)=Rs()(2.5-11)Rcs()=-Rsc()(2.5-12)可见，同相分量c(t)和正交分量s(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有,Rcs()=Rsc(-)（偶函数）将上式代入式（2.5-12），可得 Rsc()=-Rsc(-)(2.5-13)同理可推得Rcs()=-Rcs(-)(2.5-14)式（2.5-13）、（2.5-14）说明，c(t)、s(t)的互相关函数Rsc()、Rcs()都是的奇函数，在=0时 Rsc(0)=Rcs(0)=0(2.5-15),于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到 R(0)=Rc(0)=Rs(0)(2.5-16)即2=2c

36、=2s(2.5-17)这表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。另外，因为(t)是平稳的，所以(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，故在式（2.5-2）中有,正交表达式,取t=t1=0 时，(t1)=c(t1)取t=t2=3/2c时，(t2)=s(t2)所以c(t1)，s(t2)也是高斯随机变量，从而c(t)、s(t)也是高斯随机过程。又根据式（2.5-15）即Rsc(0)=Rcs(0)=0 可知，c(t)、s(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，因而它们还是统计独立的。上所述，我们证明了同相分量和正交分量的统计特性（重要结论），即：一个均值为

37、零的窄带平稳高斯过程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。,三、窄带随机过程包络和相位的统计特性 由上面的分析可知，c和s的二维联合概率密度函数为 f(c,s)=f(c)f(s)=,设a,的联合概率密度函数为f(a,)，则利用概率论知识，有 f(a,)=f(c,s),根据式（2.5-3）和式（2.5-4）在t时刻随机变量之间的关系 c=acos s=asin,注意，这里a0,而在(0，2)内取值。再利用概率论中边际分布知识将f(a,)对积分，可求得包络a的一维概率密度函数为,可见，a服

38、从瑞利分布。同理，f(a,)对a积分可求得相位的一维概率密度函数为,可见，服从均匀分布,综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即有下式成立：f(a,)=f(a)f()(2.5-23),作 业思考题（自作）：P61 3-8,3-9,3-10习 题：P63 3-14,2.6 正弦波加窄带高斯过程,正弦波加窄带高斯过程的表达式 正弦波加窄带高斯过程的统计特性,一、正弦波加窄带高斯过程的表达式 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪

39、声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t)(2.6-1),式中,n(t)=nc(t)cosct-ns(t)sinct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为2n；正弦信号的A,c均为常数，是在(0,2)上均匀分布的随机变量。于是 r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct=zc(t)cosct-zs(t)sinct=z(

40、t)cosct+(t)(2.6-2),式中zc(t)=A cos+nc(t)(2.6-3)zs(t)=Asin+ns(t)(2.6-4),合成信号r(t)的包络和相位为z(t)=,于是有：利用上一节的结果，如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 Ezc=Acos Ezs=Asin,二、正弦波加窄带高斯过程的统计特性,在给定相位的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为,利用上一节相似的方法，根据式（2.5-3）、（2.5-4）可以求得在给定相位的条件下的z和的联合概率密度函数为,f(z,/)=f(zc,zs/),=zf(zc,zs/),以相位为条件的包络z的概率密度为,令：,故

41、有,式中，称 为零阶修正贝塞尔函数。当x0时，I0(x)是单调上升函数，且有I0(0)=1。因此 由上式可见，f(z/)与无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为,这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。上式存在两种极限情况：,（1）当信号很小，A0，即信号功率与噪声功率之比=r0时，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（2.5-8）近似为式（2.4-21），即由莱斯分布退化为瑞利分布。（2）当信噪比r很大时，有，这时在zA附近，f(z)近似于高斯分布，即 由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞

42、利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图 2.6-1给出了不同的r值时f(z)的曲线。,图 2.6 1 正弦波加窄带高斯过程的包络分布,关于信号加噪声的合成波相位分布f()，由于比较复杂，这里就不再演算了。不难推想，f()也与信噪比有关。小信噪比时，f()接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f()主要集中在有用信号相位附近。图 2.6-2 给出了不同的r值时f()的曲线。,图 2.6 2 正弦波加窄带高斯过程的相位分布,作 业思考题（自作）：P61 3-11,2.7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪声 带限白噪声(低通白噪声）带通白噪声,一、白噪

43、声 凡是功率谱密度在整个频率范围内都是均匀分布的噪声，被称之为白噪声。它是一个理想的宽带随机过程。即 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。白噪声的自相关函数与功率谱密度也是一对傅立叶变换关系，即,(2.7-2),这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。图 2.7-1 画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。,图2.7-1 白噪声的功率谱密度和自相关函数,白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把

44、它视为白噪声。如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。,二、带限白噪声(低通白噪声）如果白噪声被限制在（-f0,f0)之内，即在该频率区上有P(w)=n0/2,而在该区间外P(w)=0,则这样的噪声被称之为带限白噪声。带限白噪声的自相关函数为：式中，w0=2f0。由此可看到，带限白噪声只有在=k/2f0(k=1,2,3,)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声的自相关函数和功率谱密度如图2.7-2。,图2.7-2 带

45、限白噪声的功率谱和自相关函数,三、带通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为式中fc 中心频率，B 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为,自相关函数,带通白噪声的功率谱密度和自相关函数图如图2.7-3所示。,图2.7-3 带通白噪声的功率谱密度和自相关函数图,窄带高斯白噪声通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见2.5节。即：平均功率,注意：B是指理想矩形的带通滤波器的带宽，而对于实际的滤波器，B应是噪声等效带宽。,作 业思考题（自作）：P61 3-12，3-13习 题：P62 3-8,