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1、金融工程专题金融衍生产品定价的数值方法,李志生中南财经政法大学 新华金融保险学院,2,2023/9/16,数值方法分类,金融定价中的数值方法Numerical Methods in Finance,Monte Carlo模拟Monte Carlo Simulation,有限差分Finite Difference Methods,二叉树Binomial Trees,3,2023/9/16,二叉树模型简介,John C.Cox，Stephen Ross and Mark Rubinstein.Option Pricing:a Simplified Approach.Journal of Finan
2、cial Economics,1979（7）：229-263,4,2023/9/16,二叉树模型实例,问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3个月后的价格可能为ST=￥22或ST=￥18执行价格K=￥20、有效期T=3个月的欧式看涨期权的当前价格f0是多少？,ST=￥22,ST=￥18,S0=￥20,fT=￥2,fT=￥0,看涨期权的到期价值当ST20时，执行权利：当ST 20时，放弃权利：,fT=ST-20,fT=0,欧式看涨期权,5,2023/9/16,二叉树模型实例,问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3个月后的价格可能为ST=￥22或ST=￥18有效期为3个月的欧式看
3、涨期权的执行价格K=￥20。如何求上述看涨期权的价格f0？,净现值定价法：资产的价格等于其期望现金流的现值概率：ST=￥22和ST=￥18的概率分别为0.8和0.2贴现率：无风险年利率为12？,ST=￥22,ST=￥18,S0=￥20,fT=￥2,fT=￥0,f0=,?,0.8,0.2,EfT=1.6,=,f0=1.6e-0.0120.25,?,6,2023/9/16,二叉树模型实例,思路：构造一个由股票和看涨期权组成的投资组合，使该组合在3个月末的价值是确定的，这样该组合就复制了无风险资产的现金流！假设买入股股票同时卖出一份看涨期权 组合在3个月末的价值为：为了复制无风险资产：22-2=18
4、,ST=￥22,ST=￥18,S0=￥20,fT=￥2,fT=￥0,STD-fT,=0.5,f0=？,7,2023/9/16,二叉树模型实例,上述组合终值恒为￥9无套利原理：无风险组合的收益率应为无风险利率,组合的现值为：9e-0.120.25=￥8.734(无风险利率=12%)净现值定价法：资产的价格等于其期望收益的现值,ST=￥22,ST=￥18,S0=￥20,fT=￥2,fT=￥0,Go,=f0=￥1.266,200.5-f0,f0=？,=8.734,8,2023/9/16,二叉树模型基本思想,假设基础资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，在每个小的时间间隔内资产的价格只有两种运动
5、的可能：上升或者下降,通过现金流再造技术和无套利原理求解衍生证券的价格,9,2023/9/16,二叉树模型基本思想,10,2023/9/16,二叉树模型基本思想,单期树,二期树,n期树,正态分布,11,2023/9/16,二叉树模型基本思想,时间跨度：t,0.5,0.5,1,-1,当 时，根据中心极限定理，趋向于布朗运动,特征1：服从标准正态分布特征2：对任意不同时间间隔Dt，Dz相互独立,12,2023/9/16,二叉树模型一般方法,组合：买入份基础证券同时卖出1份衍生证券(1)如基础证券价格上升，组合终值为：S0u-fu(2)如基础证券价格下降，组合终值为：S0d-fd 当(1)、(2)价
6、值相等时 S0u-fu=S0d-fd,基础证券:S0u,基础证券:S0d,基础证券:S0,衍生证券:fu,衍生证券:fd,衍生证券:f?,13,2023/9/16,二叉树模型一般方法,若无风险收益率为r，上述组合终值对应的现值为组合的成本应该等于其现值,衍生证券价格的决定因素：标的资产的当前价格和未来价格、衍生证券的类型和期限、无风险利率,14,2023/9/16,二叉树模型一般方法,公式并未用到基础证券价格上升和下降的概率我们只是根据基础证券的价格估衍生证券的价值基础证券价格未来上升和下降的概率已经包含在其价格中,基础证券:S0u,基础证券:S0d,基础证券:S0,P,15,2023/9/1
7、6,二叉树模型推广,变量p可以解释为基础证券价格上升的概率，1-p则为基础证券价格下降的概率衍生证券未来价值的期望可表示为：pfu(1p)fd,衍生证券的价值是其未来期望价值按无风险利率贴现得到的现值,未来期望价值,16,2023/9/16,二叉树模型推广,时基础证券未来的期望价格 E(ST)pS0u(1p)S0d pS0(ud)S0d S0erT基础证券的价格以无风险利率增长设定基础证券价格上升的概率等于p就等价于假设基础证券的收益率等于无风险利率,？,17,2023/9/16,二叉树模型风险中性定价,风险中性世界（risk-neutral world）投资者对风险采取无所谓的态度所有资产的
8、期望收益率都是无风险利率资产的价格可以用其期望值按无风险利率贴现风险中性定价与无套利均衡无套利均衡分析的过程和结果与投资者的风险偏好程度无关,如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好程度无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应当成立,18,2023/9/16,二叉树模型风险中性定价,例子：在风险中性世界，股票的预期收益率等于无风险利率12：在三个月末，看涨期权价值为￥2的概率为0.6523，价值为￥0的概率为0.3477，因此其期望值为：按无风险利率贴现得期权现在的价值：,Bc,19,2023/9/16,二叉树模型-参数估计,风险中性世界t内的均
9、值：t内的方差：附加条件(1)(2),基础证券波动率s，不支付红利，无风险收益率r,20,2023/9/16,多期二叉树,S0u3d,4p3q,S0u4,p4,S0ud3,4pq3,S0d4,q4,S0,1,S0u,p,S0d,q,S0ud,2pq,S0u2d2,6p2q2,S0u2,p2,S0d2,q2,S0u3,p3,S0u2d,3p2q,S0ud2,3pq2,S0d3,q3,21,2023/9/16,衍生证券的价格,S0uT-1d,CT1pT-1q,S0uT,pT,S0udT-1,CTT-1pqT-1,S0dT,qT,S0,1,S0u,p,S0d,q,S0ud,2pq,S0u2,p2,S
10、0d2,q2,执行远期和约：执行看涨期权：执行看跌期权：,22,2023/9/16,衍生证券的价格期权,看涨期权（欧式、美式）欧式看跌期权美式看跌期权,按照以上算法，只要给定 fT,0 fT,T，就可以通过逆推的法则求出美式看跌期权在当前时间的价格f0,0,Go,23,2023/9/16,衍生证券的价格期权,例子：S0300；K300；r8%；q0%；s30%；T4m求解思路：把4个月分为4个周期设定u1/d,24,2023/9/16,衍生证券的价格期权,欧（美）式看涨期权,25,2023/9/16,衍生证券的价格期权,15.49,26.63,5.27,0.00,10.99,43.74,66.
11、65,22.90,0.00,0.00,欧式看跌期权,26,2023/9/16,衍生证券的价格期权,16.87,29.03,5.73,0.00,11.95,47.71,68.64,24.89,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,47.71,87.83,美式看跌期权,27,2023/9/16,衍生证券的价格期权,精度分析,28,2023/9/16,衍生证券的价格远期,远期和约（多头）的价格在时间t时卖出期货（平仓）在时间t时等待最优策略：,29,2023/9/16,衍生证券的价格远期,远期合约（多头）,30,2023/9/16,衍生证券的价格,支付已知红利的证券的衍生工具的价格,S0
12、,S0u,S0d,S0ud-D,S0u2-D,S0d2-D,31,2023/9/16,衍生证券的价格,支付连续红利的证券的衍生工具的价格,基础证券波动率s，红利收益率q，无风险收益率r,32,2023/9/16,奇异期权,亚式看涨期权 f=mean路径-K,33,2023/9/16,奇异期权,障碍期权，knockin，B360（路径达到设置障碍有效）,34,2023/9/16,奇异期权,障碍期权，knockout，B360（路径没有达到设置障碍有效）,35,2023/9/16,奇异期权,回溯期权 f=max路径-K,BC,36,2023/9/16,百慕大期权,标准的百慕大权证通常在权证上市日和
13、到期日之间多设定一个行权日,取名“百慕大”是因为百慕大位于美国本土与夏威夷之间。.欧式期权只能在到期日执行,而美式期权可以在期权有效期内任何时间执行。百慕大式期权介于两者之间,可以在期权有效期内设置几个行权日.,37,2023/9/16,基本框架,金融学中的数值方法Numerical Methods in Finance,Monte Carlo模拟Monte Carlo Simulation,有限差分Finite difference methods,二叉树Binomial Trees,38,2023/9/16,Monte Carlo模拟,求圆周率p,建立一个原点在圆心的坐标系，在坐标系中画出
14、与该圆外切的正方形，产生N个随机数组（Xi，Yi），那么这些点会均匀得分布在第一象限的正方形区域内，如果有M个点分布在圆内，那么圆在第一象限内的面积S就为M/N，所以=4M/N,r,39,2023/9/16,Monte Carlo模拟,Monte Carlo模拟定价法通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到衍生证券价值期望值的数值方法基本思路衍生证券的价值都可以归结为衍生证券到期收益的期望值的现值；而衍生证券的到期收益取决于基础证券的到期价格和衍生证券的类型尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径；计算每种路径结果下的衍生证券回报的平均值，通过贴现即可得到衍生证券的价格,40,202
15、3/9/16,证券价格变化的连续模型,马尔科夫过程(Markov Process)马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程如果一个变量服从马尔科夫过程，那么只有变量的当前值与未来的预测值有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测值无关,如果证券价格服从马尔科夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格,41,2023/9/16,证券价格变化的连续模型,弱式有效市场与马尔科夫过程弱式有效市场证券的价格包含了全部的历史信息弱式有效市场中证券的价格可以用马尔科夫随机过程来表述一种证券的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录证券价格变动的历史不包含任何对预测证券
16、价格未来变动有用的信息,42,2023/9/16,证券价格变化的连续模型,布朗运动（Brownian motion）马尔科夫过程的一种特殊形式标准布朗运动z是一个随机变量，Dt代表一个小的时间间隔长度，Dz表示在Dt时间内z的变化。如果z服从标准布朗过程，Dz须满足两个基本特征：特征1：服从标准正态分布(均值为0、标准差为1.0)特征2：对任意两个不同时间间隔Dt，Dz相互独立连续状态下的标准布朗运动：,43,2023/9/16,证券价格变化的连续模型,标准布朗运动的基本性质z的均值：z的方差：考察变量z在一段较长时间T中的变化情形z(T)-z(0)的均值：z(T)-z(0)的方差：,44,2
17、023/9/16,证券价格变化的连续模型,随机变量的漂移率和方差率漂移率(Drift rate)：单位时间内变量z均值的变化方差率(Variance rate)：单位时间内变量z的方差标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0普通布朗运动其中常数a表示x的漂移率，常数b2表示方差率，z服从标准布朗运动Dx的均值和方差分别为：aDt和b2Dt时间T内x变化值的均值和方差分别为：aT和b2T,45,2023/9/16,证券价格变化的连续模型,是否可以用布朗运动来描述证券的价格？普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数单位时间内证券价格的预期变化是常数么？一般可以认为证券价格在单位较短的时间区间内的期望变
18、化率为常数证券价格变化的漂移率和方差率与价格有关伊藤过程（It Process）伊藤过程的期望漂移率和方差率都随变量x的取值以及时间t的变化而变化,46,2023/9/16,证券价格变化的连续模型,证券价格的变化过程（几何布朗运动）单位时间内证券价格变化幅度的期望和方差均与其价格正相关单位时间内证券价格变化率的期望和方差均与其价格无关，可以看成普通的布朗运动漂移率为mS、方差率为s2S2证券价格的期望值：离散情况下：,缺陷？,47,2023/9/16,证券价格变化的连续模型,伊藤引理如果变量x服从It过程()，那么x和t的函数G(x,t)服从如下伊藤过程：伊藤引理的应用证券价格自然对数变化过程
19、,48,2023/9/16,Monte Carlo的技术实现,价格变化模型不支付红利证券支付红利证券为了模拟资产价格变化的路径，我们把衍生证券的有效期分为N个长度为t的时间段，则,49,2023/9/16,Monte Carlo的技术实现,例子：假设无红利的股票价格运动服从几何布朗运动，年预期收益率为14，收益率的波动率为每年20，时间步长为0.01年，则通过不断从标准正态分布样本中随机抽取样本，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径,50,2023/9/16,Monte Carlo的技术实现,51,2023/9/16,Monte Carlo的技术实现,52,2023/9/16,Mont
20、e Carlo的技术实现,模拟路径,53,2023/9/16,Monte Carlo的技术实现,利用Monte Carlo计算衍生证券的价格在风险中性世界模拟基础证券的价格变化的一条路径基于基础证券的价格和衍生证券的具体类型，计算衍生证券的到期收益 fT(i)对于美式看跌期权，还需要其它辅助方法寻找特定路径上的最优执行时间,54,2023/9/16,Monte Carlo的技术实现,利用Monte Carlo计算衍生证券的价格重复1、2，计算N条不同路径下衍生证券到期收益的平均值计算N条不同路径下衍生证券到期平均收益的现值基于无风险利率）,Eup option,55,2023/9/16,Mon
21、te Carlo的技术实现,Monte Carlo模拟的优点适用于更多种类的衍生证券价格仅仅依赖于标的证券最终价格的衍生证券价格依赖于标的证券价格变化路径的衍生证券,Exotic option,Exotic option：tree,56,2023/9/16,Monte Carlo的技术实现,Monte Carlo模拟的优点适用于更多种类的衍生证券存在最优执行策略的期权回报取决于多个市场变量的衍生证券基于两种基础资产的期权,多维正态随机数的产生方法,American Put,57,2023/9/16,Monte Carlo的技术实现,Monte Carlo模拟的优点不依赖于基础证券的定价模型几何
22、布朗运动价格模型可进一步扩展a1a 1a 1,58,2023/9/16,Monte Carlo方法精度分析,估计的标准误差（Standard Error）,样本数量越大，样本均值对总体均值的估计越准确，MC模拟结果的精度随着路径数量的增加而增加,59,2023/9/16,Monte Carlo方法精度分析,衍生证券价格的区间估计95的置信概率减小标准误差的方法,60,2023/9/16,Monte Carlo方法精度分析,S0300；K300；r8%；q0%；s30%；T4m,61,2023/9/16,Monte Carlo方法精度分析,减小方差的技术对偶变量技术 控制方差技术 重点抽样法 间
23、隔抽样法 样本矩匹配法准随机序列抽样法树图取样法,62,2023/9/16,Monte Carlo方法精度分析,对偶变量技术如果x、y同分布，且相互独立：如果x、y同分布，且负相关：,x1 y1 x2 y2 x3 y3 xn yn,63,2023/9/16,Monte Carlo方法精度分析,对偶变量技术由于f1和f2负相关,Antithetic Variable Technique,64,2023/9/16,基本框架,金融学中的数值方法Numerical Methods in Finance,Monte Carlo模拟Monte Carlo Simulation,有限差分Finite dif
24、ference methods,二叉树Binomial Trees,65,2023/9/16,Black-Scholes微分方程,Black-Scholes微分方程证券价格S服从假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：对于一个足够短的时间间隔Dt，唯一的风险来源为Dz为消除Dz，构建一个包括1单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合，组合的价值可表示为：,伊藤引理,66,2023/9/16,Black-Scholes微分方程,Dt时间后，组合价值的变化为将Df和DS代入后得到如果没有套利机会，那么 上式即为Black-Scholes微分方程，它适用于价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价
25、,67,2023/9/16,有限差分方法,主要思想衍生证券的价格主要取决基础证券的价格和时间把时间和资产价格两个变量离散化将衍生证券B-S微分方程转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近、和,68,2023/9/16,有限差分方法,一阶差分前差分后差分对称差分二阶差分,69,2023/9/16,有限差分方法,隐性差分（Implicit Difference）,看跌期权,70,2023/9/16,有限差分方法,隐性差分（Implicit Difference）,M1个方程求解M1个未知数,71,2023/9/16,有限差分方法,显性差分（Explicit Difference）,看跌期权,7
26、2,2023/9/16,有限差分方法,显性差分与三叉树,73,2023/9/16,有限差分方法,隐性和显性有限差分方法的比较显性方法计算比较直接方便，无需象隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用显性方法存在一个缺陷：它的三个“概率”可能小于零，这导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解析解隐性方法始终是有效的,74,2023/9/16,有限差分方法,变量的置换在使用有限差分方法时，通常把标的变量S置换为ZLnS，这样偏微分方程改为,75,2023/9/16,有限差分方法,变量的置换隐形差分方程,76,2023/9/16,有限差分方法,变量的置换显形差分方程,7
27、7,2023/9/16,有限差分法精度分析,78,2023/9/16,美式看跌期权,Bc,79,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方法,American Put：S01；K1.1；r6%；T3y,80,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方法,American Put：S01；K1.1；r6%；T3y,81,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方法,0,0.07e-0.06,0.18e-0.06,0.20e-0.06,0.09e-0.06,American Put：S01；K1.1；r6%；T3y,t=2等待 V2,82,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方
28、法,等待所获的收益V2与S2之间存在某种函数关系假设：V2=a+bS2+cS22利用表中的数据估计上述模型V2=-1.070+2.983S2-1.813S22执行策略路径1、3、4、6、7等待时的期望收益V2分别为0.0369、0.0461、0.1176、0.1520、0.1565路径1、3、4、6、7执行期权时的收益分别为0.0200、0.0300、0.1300、0.3300、0.2600应该在第4、6、7路径上选择执行,83,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方法,American Put：S01；K1.1；r6%；T3y,84,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方法,
29、S01；K1.1；r6%；q0%；T3y,0.02e-0.06,0.13e-0.06,0.33e-0.06,0.26e-0.06,t=1等待 V1,0,85,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方法,等待所获的收益V1与S1之间存在某种函数关系假设：V1=a+bS1+cS12利用表中的数据估计上述模型 V1=2.308-3.335S1+1.356S12执行策略路径1、4、6、7、8等待时的期望收益V1分别为0.0139、0.1092、0.2866、0.1175、0.1533路径1、4、6、7、8执行期权时的收益分别为0.0100、0.1700、0.3400、0.1800、0.2200应该在第4、6、7、8路径上选择执行,86,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方法,American Put：S01；K1.1；r6%；T3y,87,2023/9/16,美式看跌期权定价的M-C方法,BC,88,2023/9/16,多维正态随机数的产生方法,X1,X2,X3 N（0，1)且相互独立,Excel,BC,
