《阶梯线性方程组的回代法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《阶梯线性方程组的回代法.ppt（16页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第1章 线性方程组,1.2 阶梯方程组的回代法,1.1 线性方程组的基本概念,1.3 线性方程组的消元法,1.2.2 阶梯线性方程组,1.2.1 回代法,1.2 阶梯方程组的回代法,内容小结,3/16,1.2.1 回代法,例1.1 求解下列线性方程组,4/16,解,(1)由第三个方程 2x3 8,解得 x3 4;,将 x3 4 代入第二个方程 x2 x3 4,得 x2 0;,将 x3 4,x2 0 代入第一个方程 x1 2x2 x3 3,得 x1 7,于是得该方程组的唯一解:,5/16,(2),将未知量 x2,x5 视作参数移到右端,6/16,将 x4 6 2x5 代入第二个方程得 x3 3
2、2x5;,将 x4 6 2x5,x3 3 2x5 代入第一个方程得 x1 10 x2,于是该方程组有无穷多解,由第三个方程解得 x4 6 2x5;,其通解为,则原方程组变为,7/16,其中 x2 和 x5 为任意数.,把视作参数移到方程右端的未知量称为自由未知量,而把其余的未知量称为基本未知量.注 自由未知量可以任意取值;方程组的通解中,基本未知量均由自由未知量表示.,8/16,自由未知量的选取并非唯一,可以选 x1,x4 为自由未知量,例如,对于例1.1中方程组,此时方程组改写为,9/16,其中 x1 和 x4 为任意数.,同理可求得方程组的通解,还可选 x1,x5 为自由未知量,或者选 x
3、2,x4 为自由未知量.,10/16,现在将例1.1中解线性方程组的方法总结如下:(a)选定若干个自由未知量,将其全部移到方程的右端,使得最后一个方程只含一个基本未知量 xk,倒数第二个方程除了可能含基本未知量 xk 外只含基本未知量 xj,.(b)从最后一个方程开始求解,逐次将所解得的基本未知量的值代入到前一个方程中,使得该方程只含一个基本未知量,从而可以求解.这个方法是将后面方程的解代入前面方程,从而求得前面方程中基本未知量的值,因此称之为回代法.,11/16,1.2.2 阶梯方程组,但是,并不是任何线性方程组都可以用回代法求解,那么能用回代法求解的线性方程组应当具有什么样的特点呢?,通过
4、观察例1.1中的线性方程组,不难发现它们呈阶梯 形状,称这样的方程组为阶梯方程组.,12/16,例1.1 求解下列线性方程组,13/16,其中 j1,j2,jr 满足1 j1 j2 jr n,且,一般来说,阶梯方程组具有如下形状:,14/16,若 dr1 0,则0 dr1 为矛盾方程,即阶梯方程组无解.若dr1 0,则阶梯方程组有解.此时,一般选每个方程的第一个未知量为基本未知量,删去所有“0 0”的方程后,有 基本未知量个数 方程个数,自由未知量个数 未知量个数 方程个数.当未知量个数等于方程个数时,方程组有唯一解;当未知量个数大于方程个数时,方程组有无穷多解.,15/16,定理1.1 在阶梯方程组中,删去所有“0 0”的方程.(1)若最后一个方程“0 dr1(dr1 0)”,则方程组无解.(2)若最后一个方程含有未知量,则方程组有解:当方程个数等于未知量个数时,方程组有唯一解;当方程个数小于未知量个数时,方程组有无穷多解,可用自由未知量表示出其通解.,16/16,1.回代法2.自由未知量,基本未知量3.阶梯方程组的定义,内容小结,
