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1、第二、三章 随机变量及其概率分布,习题课,离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量 一维随机变量函数的分布二维随机变量的联合分布多维随机变量的边缘分布与独立性多维随机变量函数的分布,内 容,关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量,一、随机变
2、量的概念,定义.设S=e是试验的样本空间，如果量X是定义在S上的一个单值实值函数即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z 或、等表示。,随机变量的特点:,1.X的全部可能取值是互斥且完备的,2.X的部分可能取值描述随机事件,随机变量的分类：随机变量,离散型随机变量,定义 若随机变量X取值x1,x2,xn,且取这些值的概率依次为p1,p2,pn,则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或,Xx1 x2xKPkp1p2pk,(1)pk 0,k1,2,;(2)
3、,2.分布律的性质,几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布,1.(0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布)XPXkpk(1p)1k,(0p1)k0，1或,若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作XB（n,p)其分布律为：,2.定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布,（二.）泊松(Poisson)分布P(）XP
4、Xk,k0,1,2,(0),二、随机变量的分布函数,定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P Xx.易知，对任意实数a,b(ab),P aXbPXbPXa F(b)F(a).,1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为,例1 设随机变量X具分布律如右表,解,试求出X的分布函数。
5、,例2 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=PXx,当x1时,F(x)=1,当0 x1时,特别,F(1)=P0 x1=k=1,用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？,?,a,b,连续型随机变量,1.定义 对于随机变量X，若存在非负函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X f(x),(-x+),密度函数的几何意义为,2.密度函数的性质(p34)(1)非负性 f(x)0，
6、(-x)；(2)归一性,性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；,设随机变量X的概率密度为,（4）对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0。于是,(3)若x是f(x)的连续点，则,例2.3.2.已知随机变量X的概率密度为1)求X的分布函数F(x),2)求PX(0.5,1.5),（二）几个常用的连续型分布,均匀分布 若Xf(x),则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作 XU(a,b),对任意实数c,d(acdb)，都有,2.指数分布 若 X,则称X服从参数为0的指数分布。其分布函数为,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。,3
7、.正态分布,其中 为实数，0，则称X服从参数为,2的正态分布,记为N(,2)，可表为XN(,2).,若随机变量,(1)单峰对称 密度曲线关于直线x=对称；f()maxf(x).,正态分布有两个特性：,(2)的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布,4.标准正态分布 参数0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0,1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。,注：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则,（一）、离散型随机变量函数的分布律,三、一维随机变量函数的分布,
8、设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk,k1,2,若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.,或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）,一般地,X,Pk,Y=g(X),设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。解：Y的分布函数为,FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y),Y的概率密度为 fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y)g-1(y),（二）、连续型随机变量函数的密度函数,例.设XU(-1,1),求Y=X2
9、的分布函数与概率密度。,当y0时,当0y1时,当y1时,多维随机向量及其概率分布,一、二维随机向量的联合分布函数,二、二维离散型随机向量的联合分布律和边缘分布律,三、二维连续型随机向量的联合密度和边缘密度.,四、常见公式,联合密度为非负可积的函数f(x,y),五、常用分布1.均匀分布:服从均匀分布的随机向量(X,Y)的密度函数.,2.二维正态分布,六、随机向量的独立性,对于任意平面区域G R2,EX,设,求:PXY,G,求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6 内的概率。,例.设,解(1)由归一性,(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,
10、y0,2X+3y6 内的概率。,解,求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,EX:随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,答:PX0=0,例.已知(X,Y)的分布函数为,求FX(x)与FY(y)。,例.设(X,Y)的概率密度为,（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度,解:(1)由归一性,设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘概率密度,x=y,x=-y,EX,随机变量的相互独立性,定义：随机变量X与Y独立的充分必要条件是F(x,y)=FX(x)FY(y),定理.设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(
11、y)定理 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j=Pi.Pj。,由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可,例1.已知X,Y相互独立,其概率分布分别为,求(X,Y)的联合分布律,关于(X,Y)的联合分布律,例2.设二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布律如下,取何值时,X,Y相互独立?,解:若X与Y相互独立,例3.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布,例4.设X和Y为两个随机变量,
12、且,例5.设离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为,解:将表重新排列,例6.设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为,其中参数0,这个分布称为二维指数分布,试讨论X和Y的独立性.,解:由已知可得边缘分布函数,p93例4.某码头能容纳一只船,现预知某日将独立地来到甲,乙两船,且在24小时内各时刻来的可能性都相等,如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时,试求有一船要在江中等待的概率解:设X表示甲船到达码头的时间.Y表示乙船到达码头的时间由题中条件,X与Y都服从0,24上的均匀分布,关于X的边缘密度函数,关于Y的边缘密度函数,因为X与Y相互独立,故(X,Y)的联合密度函数为,事件有一只船在江中等待=YXY+4+XYX+3,表示:甲船来时,乙船已在码头,表示:乙船来时,甲船已在码头,P108 8.设X,Y相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,试求使方程 有实根的概率.,P108 2.设二维随机向量的概率密度函数为,求(1)C(2)(X,Y)落在圆 内的概率,P107 3.设平面区域D由曲线,所围成，二维随机向量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为:解:,P107 4.设随机变量X,Y同分布,X的密度函数,
