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1、高校理科通识教育平台数学课程,概率论与数理统计,讲授,孙学峰,第二章 随机变量及其分布,随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量随机变量的函数的分布,2.1 随机变量及其类型,2.1.2 随机变量的分类,2.1.3 离散型随机变量及其分布,2.1.4 随机变量的分布函数,2.1.1 随机变量,用样本空间的子集，即基本事件的集合来表示随 机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用存在较大局限。为此，我们将随机试验结果量化，即引入随机变量的概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随机试
2、验。,在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来，即建立对应关系X，使其对试验的每个结果，都有一个实数X()与之对应，,试验的结果,实数X(),对应关系X,则X的取值随着试验的重复而不同，X是一个变量，且在每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量。,随机变量的概念,定义2.1 设E是一个随机试验，=是试验E的样本空间，如果对于 中的每一个样本点，有一实数X()与之对应，这个定义在 上的实值函数X()就称为随机变量。,由定义可知，随机变量X()是以样本空间为定义域的一个单值实值函数。,有关随机变量定义的几点说明：(1)随机变量
3、X不是自变量的函数而是样本点e的函数，常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母、等表示。(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值，因而在试验结束之前，只知道其可能的取值范围，而事先不能预知它取什么值，对任意实数区间(a,b)，“aXb”的概率是确定的；(3)随机变量X()的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合；(4)引入随机变量后，就可以用随机变量描述事件，而且事件的讨论，可以纳入随机变量的讨论中。,例2.1 一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变量。X的一切可能取值为 0，1，2，20 X=0表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”；X=1表示事
4、件“抽检的20件产品中恰有1件合格品”；X=k表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格品”。,例2.2 将一颗骰子投掷两次，观察所的点数，以X表示所得点数之和，则X的可能取值为2，3，4，12，而且X=2=(1,1),X=3=(1,2),(2,1),X=4=(1,3),(2,2),(3,1),X=12=(6,6)。,随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：,P(X=2)=1/36,P(X=3)=2/36,P(X=4)=3/36,P(X=12)=1/36,例2.3 一正整数n等可能地取1,2,3,15共十五个值，且设X=X(n)是除得尽n的正整数的个数，则X是一个随机变量，且有下表：,即可得X取
5、各个可能值的概率为：,例2.4 一个地铁车站，每隔5分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时间，他在一个任意时刻到达该站，则他候车的时间X是一个随机变量，而且X的取值范围是0，5,随机变量的分类：,2.1.2 随机变量的分类,随机变量,2.1.3 离散型随机变量,一、离散型随机变量及其分布律,1、离散型随机变量的概念,若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。,2、分布律,设离散型随机变量X，其所有可能取值为
6、x1,x2,xk,且取这些值的概率依次为p1,p2,pk,即,则称P(X=xk)=pk(k=1,2,)为随机变量X 的概率分布律，简称分布律。分布律可用表格形式表示为：,P(X=xk)=pk,(k=1,2,)而且满足（1）P(X=xk)=pk0，(k=1,2,)（2）,例2.5 设袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。,解,X=k的所有可能取值为0，1，2,X是一个随机变量,解 设Ai 第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5则A1,A2，A5相互独立，且P(Ai)=p,i=1,2,5。SX=0,1,2,3,4,5,例2.6 某射手
7、对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律,1、(0-1)分布 若随机变量X的分布律为：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0p1)则称X服从以p为参数的0-1分布，记为XB(1,p)。,0-1分布的分布律也可写成,即随机变量只可能取0，1两个值，且取1的概率为p，取0的概率为1-p(0p1)，亦即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。,若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为=1,2,我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量,即它们都可
8、用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。,2、二项分布,(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。设随机试验满足：1在相同条件下进行n次重复试验；2每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；3在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p；4各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。,以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值为0,1,2,3,n。设每次试验中A发生的概率为p，,发生的概率为1-p=q。,(X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即,这里每一项表示k次试验中出现A，
9、而另外n-k次试验中出现,，且每一项两两互不相容，一共有Cnk项。,由4独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)1-k，因此,此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式，记为,（2）二项分布定义,若随机变量X具有概率分布律,其中p+q=1，则称随机变量X服从以n，p为参数的二项分布，记为XB(n,p)（或称贝努里分布）。可以证明：,正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为0-1分布。,例2.7 设有一大批产品，其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件，试求所得次品件数的概率分布律。,解（视作放回抽样检验
10、）设(X=k)表示事件“100件产品中有k件次品”，则X可能取值为0，1，2，100。本题可视作100重贝努里试验中恰有k次发生(k件次品)，XB(100,0.002)。因此，所求分布律为,例2.8 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率室0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。,解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，7。XB(7,0.6)。因此X的分布律为,所求概率为,例2.9 从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯
11、相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3。(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律；(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。,解(1)由题意，XB(6,1/3)，故X的分布律为：,例2.10 某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少击中目标两次的概率。,解 每次射击看成一次试验，设击中次数为X，则X的分布律为 XB(400,0.02)，,所求概率为,泊松(Poisson)定理 设0，n是正整数，若npn=，则对任一固定的非负整数k，有,即当随机变量XB(n,p)，(n0,1,2,)，且n很大，p很小时，记=np，则,例2.10可用泊松定理计算。取=np=4
12、000.028,近似地有P(X2)1 P(X0)P(X1)1(18)e80.996981,3、泊松(Poisson)分布,若随机变量X所有可能取值为0,1,2,，且,其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()。,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布。,例2.11 某商店出售某种商品，具历史记录分析，每月销售量服从参数=5的泊松分布。问在月初进货时，要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要？,解 用X表示每月销量，则XP()=P(5)。由题意，要求k，使得P(Xk)0.999，即,这里的计算
13、通过查Poisson分布表(p.333-334)得到，=5,i=k+1=14时,i=k+1=13时,k+1=14，k=13即月初进货库存要13件。,例2.12 设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解 由题意,4、几何分布,设随机变量X的可能取值是1,2,3,且P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，,其中0p1是参数，则称随机变量X服从参数为p的几何分布。,几何分布背景：,随机试验的可能结果只有2种，A与,试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次试验，前k-1次失败，第k
14、次成功。,例2.13 进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。,解 m=1时,m1时，X的全部取值为：m,m+1,m+2,P(X=m+1)=P(第m+1次试验时成功，并且 在前m次试验中成功了m-1次),2.1.4 随机变量的分布函数,离散型随机变量可用分布律来完整地描述，而对于非离散型随机变量则难以实现.由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间(a,b上的概率(ab).由于axb=xb-xa,(ab)，因此对任意xR，只要知道事件Xx发生的概率，则X落在(a,b的概率就立刻
15、可得。因此我们用PXx来讨论随机变量X的概率分布情况。PXx：“随机变量X取值不超过x的概率”.,定义 设X是一随机变量，x为实变量,则实值函数F(x)P Xx，x(-，+)称为随机变量X的分布函数。有了分布函数定义，任意x1，x2R，x1x2，随机变量X落在(x1,x2里的概率可用分布函数来计算：P x1X x2PX x2PXx1 F(x2)F(x1).,在这个意义上可以说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况。,一、分布函数的概念,例2.14 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通
16、过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率,解 设p为每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律为：,X的分布函数：,所求概率为,一般地，X是离散型随机变量，其概率分布律为P(X=xk)=pk,(k=1,2,)则X的分布函数F(x)为,F(x)的图像：非降，右连续，且在x1，x2，xk，处跳跃。,二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2)；2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,反之，具有上
17、述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。如X为被测灯泡的寿命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定会发生的，否则不会出现事件(X1000)，所以 不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。同样，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。,例2.15 设随机变量X具分布律如下表,解,试求出X的分布函数。,例2.16 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在0,1区间内任一子区间
18、内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。解 F(x)=P(Xx),当x1时,F(x)=1,当0 x1时,特别,F(1)=P(0 x1)=k=1,用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？,?,a,b,例1 有一批产品共40件，其中有3件次品.从中随机抽取5件，以表示取到的次品件数，求X的概率分布及分布函数.,解 随机变量X可能取到的值为0，1，2，3，按古典概率计算事件X=k（k=0,1,2,3）的概率，得的概率分布为,或写为：,当x0时，,当0 x1时，,当2x3时，,当1x2时，,当x3时，,=0.6624+0.3011=0.9635;,于是得的分布函数为:,函数F(x)是阶梯形右连续函数，其图像如右图，在处有跳跃点.,课堂练习 设X的分布函数为,求(1)常数A,B；(2),解(1)由分布函数的性质知,故有,解得,(2),三、离散型随机变量的分布函数特点,一般地，设离散型随机变量X的概率分布为 pi=PX=xi(i=1,2,)则其分布函数为,这里和式是对所有满足xix的i求和。F(x)的图形是阶梯形，在x=xi(i=1,2,)处具有跳跃，其跳跃值为:,作业,P37 2.4.5.6.,
