《随机变量函数的分布、卷积公式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量函数的分布、卷积公式.ppt（32页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第五节 两个随机变量的函数的分布,的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 课堂练习 小结 布置作业,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求 Z=X+Y 的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2,一、的分布,解 依题意,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为,于是,i=0,1,2,j=0
2、,1,2,的泊松分布.,r=0,1,即Z服从参数为 的泊松分布.,例3 设X和Y的联合密度为 f(x,y),求 Z=X+Y 的概率密度.,这里积分区域 D=(x,y):x+y z,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y=z 及其左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当 X 和 Y 独立，设(X,Y)关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x),fY(y),
3、则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,例4 若 X 和Y 独立,具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时,当 时,当 时,于是,例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立,具有相同的分布 N(0,
4、1),则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地,可以证明:,休息片刻再继续,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和 FY(y),我们来求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M=max(X,Y)的分布函数为:,1.M=max(X,Y)的分布函数,即有 FM(z)=FX(z)FY(z),即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(X
5、z,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2.N=min(X,Y)的分布函数,由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N=min(X,Y)的分布函数为:,设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=1,n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备
6、用(当系统 损坏时,系统 开始工作),如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.,解,(i)串联的情况,由于当系统 中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,所以此时 L 的寿命为,因为 X 的概率密度为,所以 X 的分布函数为,当 x 0 时,当 x 0 时,故,类似地,可求得 Y 的分布函数为,于是 的分布函数为,=1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii)并联的情况,由于当且仅当系统 都损坏时,系统 L 才停止工作,所以此时 L 的寿命为,故 的分布函数为,于是 的概率密度为,(iii)备用的情况,因此整个系统 L 的寿命为,由于当系统 损坏时,系统 才开始工作,当 z 0 时,当 z 0 时,当且仅当,即 时,上述积分的被积函数不等于零.,故,于是 的概率密度为,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,三、课堂练习,设 是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布.试验证随机变量 具有概率密度,四、小结,在这一节中,我们讨论了两个随机变量的函数的分布的求法.,五、布置作业,概率统计标准化作业(三),
