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1、随机变量的数字特征,第四章,随机变量的概率特性,怎样粗线条地描述r.v 的某一概率特性？,简单明了、特征鲜明、直观实用,要求,分布函数密度函数分布律,r.v.的平均取值 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数,本章内容,分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便.有时只需知道它的某些特征就可以了.,1.一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.,2.考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还
2、要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.,3.判断棉花质量时,既看纤维的平均长度，又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。平均长度越长,偏离程度越小,质量就越好。,第一讲,数 学 期 望,导读内容,1、自学：什么是数学期望？为什么说期望是随机变量取值的概率意义下的加权平均值？2、离散型、连续性随机变量的期望及随机变量函数的期望如何计算？期望有哪些性质？3、期望在实际问题（如效益、利润、保险、求职、证券等）中有哪些应用？请查找资料举例说明。,甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：,怎样评估两人的成绩？,甲：,每枪平均环数为,可见甲的射击水平比乙略好,引例,分析,两人的总环
3、数分别为,(环),乙：,(环),甲：,乙：,(环),(环),实际背景,某班级某课程考试的平均成绩,电子产品的平均无故障时间,某地区的日平均气温和日平均降水量,某地区水稻的平均亩产量,某地区的家庭平均年收入,怎样定义 r.v 的平均值概念,平均值的概念广泛存在,例如,某国家国民的平均寿命,？,甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：,怎样评估两人的成绩？,即平均环数为,例,进一步分析,记甲每枪击中的环数为 因为射击次数,较多,故可认为 的分布律为,则甲射手每枪平均环数为,则抽查到的100只手表的平均日走时误差为,即,例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手表的日走时误差
4、,其数据如表:,如果另外再抽验100只手表,每做一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值.,这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.,(期望、均值),定义,设 的分布律为,为 的数学期望。,数学期望的本质 加权平均 它是一个数不再是 r.v.,例1,-1 0 1 2 3 p 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3,设随机变量,有分布列,试求 的数学期望,解:,=（-1）0.1+00.2+10.1+20.3+30.3=1.5,解:分布律为：,平均废品数为：
5、,例2 某工人工作水平为：全天不出废品的日子占30%，出一个废品的日子占40%，出二个废品占20%，出三个废品占10%。设X为一天中的废品数，（1）求X的分布律；（2）这个工人平均每天出几个废品？,例3 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的 方式.付款额根据使用寿命 来确定：,试求该商店出售一台电器的平均收费额.,假设,设出售一台电器的收费额为 元,分布律为,即,参数为1/10 的指数分布密度函数为,即商店出售一台电器平均收费额为 元,解:,常见离散的随机变量的数学期望,(1)两点分布,设,服从二点分布，其分布列为：,则,=1p+0q=p(q=1-p),(2)二项分布,设 X B(n,
6、p),则,在n重贝努利试验中，每次成功的概率是p,则n次试验成功的平均次数是np,（3）泊松分布,设 服从参数为的泊松分布，其分布列为,常见离散的随机变量的数学期望,二项分布,np,设连续型函数的随机变量X的密度函数为f(x),绝对收敛,则称,为随机变量X的数学期望(均值、期望)。,如果,否则称X的数学期望不存在。,注意 不是所有的连续型随机变量都有数学期望,例4 设随机变量X的概率密度函数为,试求X的数学期望。,解：,常用的连续型随机变量的数学期望,1.均匀分布,2 指数分布,3 正态分布,均匀分布,指数分布,正态分布,定理,例5,设随机变量X的分布列为,解,例6,解,(1)E(c)=c;(
7、c为常数),(2)E(kX+b)=kE(X)+b;k,b常数(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);,注:1.性质(3)和(4)可以推广到有限个随机变量X1,X2,Xn 的情况；2.对于“和”,不要求X1,X2,Xn相互独立;对于“积”要求X1,X2,Xn相互独立。,例7,一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件的和，这两个部件的长度：,求：此仪器总长度的数学期望,及两部分的乘积的数学期望,解:,故,注意:一般来说,例8 按季节出售的某种应时商品,每售出一公斤获利润3元.如到季末尚有剩余商品,则每公斤净亏损1元.设某商店在季节内这种
8、商品的销售量X(公斤)在区间(2000,4000)上服从均匀分布.为使商店所获得利润的数学期望最大,问商店应进多少货?,解：以 s(公斤)表示进货数,进货 s 所得利润记为Ys(X),则,X的概率密度,得,于是,为使商店所获得利润的期望最大,问商店应进3500公斤货,故 s=3500 时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元,解：引入r.v,位乘客在第 i 站都不下车,例9 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).(假定每位旅客在任一车站下车是等可能的,且各旅客是否下车相互独立).,易知 X=X1+X2+X10,例10 旅游团的 个游客出酒店时都将自己房间的钥匙交给了导游.回到酒店后,每人从导游处任取一把钥匙去开自己房间的门.试问平均有多少人能开打房门。,故能开打房门的平均人数为,则能打开房门的人数为,解：令,且,例11 抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).,从而由期望的性质可得,
