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1、,9.1随机过程的概念,随机过程的概念9.1.2 随机过程的分类,第9章随机过程,9.1.1 随机过程的概念 类似于随机变量的定义，可给出随机过程的定义:,定义9.1 设E是随机试验，样本空间为S=e，若对每个eS,总有一个时间函数X(t,e),tT 与它相对应，这样对于所 有的eS,得到一族时间t 的函数X(t,e),tT,称为随机过程，简记为 X(t),tT。,X(t)族中的每一个函数称为这个随机过程的样本函数或样本曲线。,由定义可知二元函数X(t,e)的含义如下：,(1)对于一个特定的试验结果ei，则X(t,ei)是仅依赖于t 的函数，称为随机过程的样本函数，它是随机过程的一次物理实现。
2、,因此随机过程也可以看作对每个e依某种规律相对应一个参数t的函数X(t,e)即在概率空间上定义了一个随机函数。,随机过程X(t)的样本函数用x(t)表示，以避免与随机过程的记号X(t)相混。,S,(2)对于每一个固定的时刻ti,X(t,e)取决于e,所以是定义在S上的随机变量，见图,按这种定义方式，随机过程是多维随机变量的延伸。,例9.1 抛掷一枚硬币的试验,样本空间 S=H,T,现定义,例9.2考虑,是一个随机过程,叫做随机相位正弦波。,例9.3测量运动目标的距离。,测量存在随机误差。,例9.4某城市的120急救电话台接收呼叫。,例9.5抛掷一颗骰子的试验。,此过程称为伯努利过程或伯努利随机
3、序列,(1)如果一个随机过程X(t)对于任意的tT,X(t)都是连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。,随机过程可以根据其状态空间和参数集的连续或离散进行分类。,若对任意的 tT,X(t)是离散型随机变量，称此随机过程为离散型随机过程。,例9.2、例9.3,例9.1、例9.4、例9.5,随机过程的分类,若参数T为离散集合，则称随机过程为离散参数随机过程或者随机序列，随机序列的状态空间还是离散的，则称为离散参数链。,(2)当参数T为有限区间或无限区间时，则称X(t)是连续参数随机过程。以后若没特别指出，随机过程一词总是指连续参数随机过程。,9.2.1 随机过程的分布,9.2.2 随机过
4、程的数字特征,9.2.3 二维随机过程的分布函数和数字特征,9.2随机过程的统计描述,9.2.1 随机过程的分布,对于n维随机变量，通常利用n维联合分布函数来描述它的统计规律性，随机过程是一族随机变量，所以，描述随机过程的统计规律性需要用有限维分布函数族。,设X(t),tT为一随机过程。对每一个固定的t1T,称x(t1)的分布函数,为随机过程的一维分布函数，它是x1和t1 的二元函数。,变动t1T 便得一族分布函数:,称为一维分布函数族。,同随机变量一样，若F(x1,t1)对x1 的偏导数存在,则称偏导数,为随机过程的一维概率密度。,补充例9.1 抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：,X(0)
5、,X(1),-1 1,01,0,1/2,1/2,0,虽然随机过程的有限维分布函数族可以完整地描述随机过程的统计特性，但是，在实际应用中要确定随机过程的有限维分布函数族是比较困难的，有时甚至不可能,而在许多实际应用中往往研究若干个常用的数字特征就能满足要求。,9.2.2 随机过程的数字特征,下面，我们仿照对随机变量的研究方法讨论几个重要的数字特征。,1.均值函数,设随机过程X(t),tT 的一维分布 函数为F1(x;t)对应的一维概率密度为f1(x;t),X(t)是过程在固定 tT,时刻的随机变量，它的数学期望一般情况下依赖于t，是t 的确定函数，称此函数为均值函数。用X(t)表示，即,我们把随
6、机变量X(t)(随机过程对应于某个固定t值）的二阶原点矩记作,称为随机过程X(t)的均方值函数。,2.均方值函数与方差函数,X2(t)是t的确定函数，它描述了随机过程的诸样本函数对数学期望X(t)的偏离程度。,称为随机过程X(t)的方差函数。,而把X(t)的二阶中心矩。,3.自相关函数,自相关函数（简称相关函数）就是用来描述随机过程两个不同时刻状态之间内在联系的重要数字特征。,称为随机过程X(t)的自相关函数，简称相关函数，记作RXX(t1,t2)。,为随机过程的自协方差函数，简称协方差函数。,此时相关函数即为均方值X2(t)。,均值函数,均方值函数,方差函数,标准差函数,自相关函数,自协方差
7、函数,随机过程的数字特征,随机过程数字特征之间的关系,均值函数,自相关函数,最主要的数字特征,例9.5,解,例9.6求随机相位正弦波,解,(1)均值函数,(2)自相关函数,独立增量过程,泊松过程的数学模型,维纳过程的数学模型,9.3几种重要的随机过程,特征:在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独立的。,9.3.1 独立增量过程,可以证明,注意(1)为了简便，不失一般性，通常可令独立增量过程在起始时间 t0 的,方差函数,(2)独立增量过程的协方差函数,1.计数过程,考虑下列一些事件:在0,t)时间内电话总机接到的顾客“呼叫”的次数；某服务系统在0,t)时间内要求服务的顾客人次；机器在0,t)时
8、间内发生故障的次数等等。,用N(t)表示在0,t)时间内发生的事件数。,N(t),t 0是一状态取非负整数、时间参数连续的随机过程，称为计数过程。,泊松过程,由定义计数过程满足以下条件(1)N(t)0;(2)N(t)取整数；(3)若st,则N(s)N(t);(4)当st,则N(t)-N(s)等于区间s,t中出现的质点数。如果计数过程N(t),t0,对于任意的st，区间(s,t内出现的质点数N(t)-N(s)的分布仅依赖于t-s，而与起点t无关，则计数过程是平稳增量过程。如果将过程的增量X(t)-X(t0)记为X(t0,t),0t0t,它表示时间间隔t0,t)内出现的质点数，则事件“在t0,t)
9、内出现k个质点”就可以表示为X(t0,t)=k,其概率可以记为Pk(t0,t)=PX(t0,t)=k,k=0,1,2,。,2.泊松过程,则称此过程为 泊松过程。称为泊松强度,下面根据泊松过程的定义来讨论它的几个数学特征：均值函数、自方差函数及自相关函数。,泊松过程的统计特性,设X(t),t 0 是泊松过程，对任意t,t00,+),且t0 t 有,即表示单位时间内事件A发生的平均次数。,(1)均值函数,(2)方差函数：,(3)协方差函数,(4)相关函数,例9.7,解,定义9.8,如果随机过程X(t),tT的任何有限维分布都是正态分布，则称X(t),tT为正态过程，或称为高斯过程。,9.3.3 正态过程,例9.8,解因为A,B是相互独立的正态变量,所以(A,B)是二维正态变量。,都是A,B的线性组合。,1.维纳过程的定义,则称此过程为 维纳过程。,2.维纳过程的统计特性,维纳过程增量的分布只与时间差有关,所以维纳过程是齐次的独立增量过程,也是正态过程。其分布完全由均值函数和自协方差函数(或者自相关函数)所确定。,根据定义，对任意t 0,(3)协方差函数,(1)均值函数,(2)方差函数,(4)相关函数,泊松过程,维纳过程,离散的独立增量过程,连续的独立增量过程,泊松过程,维纳过程,均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数,
