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1、点.,第二章,直线.,平面,之间的,位置关系,立体几何,本章内容,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,2.2 直线、平面平行的判定及其性质,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章 小结,本章小结,本章小结,知识要点,复习参考题,自我检测题,1.三个公理,公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.,公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.,三推论:两相交直线确定平面;两平行直线确定平面;直线外的点与直线确定平面.,公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,返回目录,2.线线之间的位置关系,相交,平行,异面,判
2、定两直线平行的公理 4:,平行于同一条直线的两直线互相平行.,3.两异面直线所成的角,角的范围(0,90.,由定义找角:,垂直,相交非钝角,且两边分别平行两异面直线.,异面垂直,无垂足.,4.线面平行的判定定理,由线线平行得线面平行.,5.线面平行的性质定理,由线面平行得线线平行.,6.面面平行的判定定理,由线面平行得面面平行.,7.面面平行的性质定理,由面面平行得线线平行.,8.线面垂直的定义,若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线,则叫 la.,应用:,若 la,则 l 垂直平面 a 内的任意一直线.,过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.,9.线面垂直的判定定理,如果一条直线
3、和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.,10.三垂线定理,如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;,如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.,11.直线和平面所成的角,斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角).,垂线与平面所成的角为90.,平行线或在平面内的直线与平面所成的角为 0.,斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.,两条平行线和同一个平面所成的角相等.,12.直线与平面垂直的性质定理,垂直于同一个平面的两条直线平行.,由线
4、面垂直得线线平行.,13.二面角及它的平面角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,二面角的大小由它的平面角确定.,14.两平面垂直的判定,一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.,15.平面与平面垂直的性质,两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与于另一个平面垂直.,两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.,复习参考题,返回目录,A 组,1.三个平面可将空间分成几部分?你能画出它们的直观图吗?,答:三个平面可将空间分成 4个、或 6个、或 7个、或 8个部
5、分.,4部分,6部分,7部分,8部分,复习参考题,2.如图,一块正方体形木料的上底面上有一点 E,经过点 E 在上底面上画一条直线与 CE 垂直,怎样画?,M,N,画法:,连结C1E,过点 E 作 MNC1E.,在平面A1C1内,则 MN就是所要求作的直线.,CC1平面A1C1,MN平面A1C1,MNCC1.,所作 MNC1E,其理由:,则 MN平面C1EC,得 MNCE.,3.证明:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.,如图,已知直线 ab=A,bc=B,ca=C.求证 a,b,c 共面.,证明:,ab=A,a、b 确定平面,设为 a,则 aa,ba,得 Ca,Bb,a、b、c
6、共面于 a.,又 ca=C,cb=B,于是得 Ca,Ba,即得 ca,4.如图,正方体的棱长是 a,C,D 分别是两条棱的中点.(1)证明四边形 ABCD 是一个梯形;(2)求四边形 ABCD 的面积.,证明:,如图,连结上底面,C,D是两棱中点,A,B,而 AB/AB,且AB=AB,CD/AB,且CDAB,则ABCD是梯形.,(1),对角线AB,CD/AB,且,A,B,4.如图,正方体的棱长是 a,C,D 分别是两条棱的中点.(1)证明四边形 ABCD 是一个梯形;(2)求四边形 ABCD 的面积.,解:,在底面正方形中求得,如图,在RtOOE中可求得,梯形ABCD的面积为,(2),O,E,
7、O,梯形的高 OE=,E,5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AE=A1E1,AF=A1F1,求证 EF/E1F1,且 EF=E1F1.,证明:,连结EE1,FF1,在正方体中,AEA1E1,AFA1F1,又知 AE=A1E1,AF=A1F1,AEE1A1和AFF1A1是,则 EE1/AA1,且EE1=AA1,FF1/AA1,且FF1=AA1,四边形EE1F1F是,得 EE1/FF1,且EE1=FF1,则 EF/E1F1,且EF=E1F1.,解:,设长方体中同一顶点,处的三条棱长为 x,y,z,而 AC2=AC2+CC2,=AB2+BC2+CC2,x,y,z,则 a2=x2+y2,
8、b2=y2+z2,c2=z2+x2,=x2+y2+z2,解:,分别取 AB、CD 的中点,E、F,连结 VE、EF,则VEF就是二面角V-AB-C,的平面角.,连结VF,由已知可得VF=VE=,=2,又 EF=2,VEF=60,即二面角 V-AB-C 的度数是60.,8.已知 a,b,g 是三个平面,且 ab=a,ag=b,bg=c,且ab=O.求证 a,b,c 三线共点.,证明:,ab=O,得 Oa,Ob,ab=a,ab,ag=b,bg,Ob,Og,即O为 b 与 g 的公共点,而 bg=c,交线 c 必过 O 点,则 a,b,c 三线共点O.,9.如图,平面 a、b、g 两两相交,a、b、
9、c 为三条交线,且 a/b,求证 a/b/c.,ab,证明:,gb=b,ag,a/b.,同理,ab,ab=c,aa,a/c.,于是得 b/c,得 a/b/c.,10.如图,ab=AB,PCa,PDb,C,D 是垂足,试判断直线 AB 与 CD 的位置关系?并证明你的结论.,答:ABCD.,证明:,ab=AB,ABa,ABb.,而 PCa,PDb,PCAB,PDAB.,则 AB平面PCD.,而 CD平面PCD,ABCD.,B 组,1.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,(1)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将AED,DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合
10、于点 A,求证:ADEF.(2)当 BE=BF=BC 时,求三棱锥 AEFD 的体积.,(1),证明:,DAAE,DCCF,DAAE,DAAF,则 DA平面 AEF,于是得 DAEF.,B 组,1.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,(1)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将AED,DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A,求证:ADEF.(2)当 BE=BF=BC 时,求三棱锥 AEFD 的体积.,(2),解:,BC=2,则,得,H,AEF的高AH=,AD=AD=2,三棱锥 AEFD 的体积为,(1),证明:,连结B1D1,则A1C1B1D1,又
11、A1C1D1D,A1C1平面B1D1D,则A1C1B1D.,同理,连结B1C,可得BC1B1D.,B1D平面A1C1B.,2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)B1D平面A1C1B;(2)B1D与平面A1C1B的交点H是A1C1B的重心(三角形三条中线的交点).,设A1C1B1D1=O,则O,H,B是平面A1BC1与平,(2),证明:,面B1BDD1的公共点,即B,H,O共线.,而O点是A1C1的中点,即BO是A1C1B的中线.,O,同理,设BC1B1C=E,E,A1,H,E共线且是A1C1B的中线.,H是A1C1B的重心.,自我检则题,返回目录,平行,平行,相交,异面,
12、C,2.下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交(D)一条直线与两个平行平面所成的角相等,A,3.在正体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D1,分析:,如图,(A),AC 与 CE 相交,排除.,(B),直观 BD 可能垂直 CE.,BDAC,且 BDCC1,则 BD平面 ACC1A1,而 CE平面 ACC1A1,BDCE.,B,4.下列命题中,正确的是()(A)一个平面把空间
13、分成两部分(B)两个平面把空间分成三部分(C)三个平面把空间分成四部分(D)四个平面把空间分成五部分,A,一个平面如图.,两个平面如图.,三个平面如图.,四个平面如图.,5.已知直线 l平面 a,直线 m平面 b,有下列命题:a/blm;abl/m;l/mab;lma/b.其中正确的命题是()(A)与(B)与(C)与(D)与,成立,反例,成立,反例,D,二、填空题.6.若点 M 在直线 a 上,a 在平面 a 内,则 M,a,a 间的关系可用集合语言表示为.,Ma,aa,7.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题:若 ab,bc,则 a/c;若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直
14、线,则 a,c 也是异面直线;若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交;若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面.其中真命题的个数是.,a,b,c,反例如图.,b,c,反例如图.,反例如图.,反例如图.,0 个,三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线 l 经过平面 a内一定点 P,但 l 在 a 外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.若直线 a平面 a,Aa,Aa,A直线 b,a/b,则 ba.,解:,(1),Pl,Pa,la.,三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线 l 经过平面 a内一定点
15、P,但 l 在 a 外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.若直线 a平面 a,Aa,Aa,A直线 b,a/b,则 ba.,解:,(2),若直线 a 和点 A 都在平面 a 内,a 不,经过点 A,直线 b 经过点 A 且平行于 a,则直线 b,在平面 a 内.,9.如图,在长方体 ABCD-ABCD 中,指出 BC,DB 所在直线与各个面所在平面的关系.,解:,BC平面BBCC,BC/平面AADD,BC平面AABB=B,BC平面ABCD=C,BC平面CCDD=C,BC平面ABCD=B.,DB平面ABCD=B,DB平面ABCD=D,DB平面AABB=B,DB平面BBCC=B,DB平面CCDD=D,DB平面DDAA=D.,10.如图,过点 S 引三条不共面的直线 SA,SB,SC,其中BSC=90,ASC=ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面 ABC平面 BSC.,证明:,ASC=ASB=60,SA=SB=SC=a.,ASCASB,AB=AC.,取 BC 的中点 E,则 AEBC.,E,在等腰直角BSC 中,斜边中线 SE=CE.,在等边三角形 ASC中,AC=AS.,AESAEC.,得AES=AEC,即 AEES.,由知AE平面 BSC.,AE平面 ABC,平面 ABC平面 BSC.,完,耶！第二章完啦！,
