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1、,一、填空题（每题4分，共24分）1.（2010苏州高二检测）以椭圆 的焦点为顶点、两顶点为焦点的双曲线的标准方程是_.,【解析】椭圆 的焦点坐标为（0，1），（0，-1），由题意可知所求双曲线的顶点坐标为（0，1），（0，-1），焦点坐标为（0，），（0，），所以其标准形式为y2-x2=1.答案：y2-x2=1,2.设P是双曲线 上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1=3，则PF2等于_.【解析】由3x-2y=0是一条渐近线,a=2,双曲线方程为由双曲线定义知PF1-PF2=4,PF2=7或PF2=-1(舍去).答案：7,3.存在斜率且过
2、点P(-1,)的直线l与双曲线 有且仅有一个公共点,且这个公共点恰是双曲线的左顶点,则双曲线的实轴长等于_.,【解析】依题意知,过点P的直线l与双曲线的渐近线y=x平行,所以解得a=2.所以实轴长等于4.答案：4,4.（2010玉溪高二检测）双曲线x2-y2=1左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为 则a+b=_.,【解析】P(a,b)在双曲线x2-y2=1上,a2-b2=1.(a+b)(a-b)=1.又P(a,b)到直线y=x的距离为|a-b|=2.P(a,b)在双曲线左支上,a-b0.a-b=-2.a+b=答案：,5.（2010抚顺高二检测）设F1,F2分别是双曲线(a0,b0)的左、
3、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2=90且AF1=3AF2，则双曲线的离心率为_.,【解题提示】解答本题要结合双曲线的定义和勾股定理解题.【解析】AF1-AF2=2a,AF1=3AF2，AF2=a,AF1=3a,又F1AF2=90,F1F22=AF12+AF22,4c2=a2+9a2=10a2,答案：,6.过点A(6,1)作直线l与双曲线 相交于两点B、C,且A为线段BC的中点.则直线l的方程为_.,【解析】,直线l的方程为y-1=(x-6),即3x-2y-16=0.答案：3x-2y-16=0,二、解答题（每题8分，共16分）7.(2010营口高二检测)中心在原点的双曲线，经过一点P（4
4、，3）.(1)若直线y=x-2与双曲线只有一个交点，求双曲线的标准方程;(2)若它的一个焦点为F(0),求它的顶点坐标及离心率.,【解析】（1）由直线与双曲线只有一个交点可知直线y=x-2平行于双曲线的一条渐近线，即双曲线的一条渐近线为y=x,可以用双曲线系方程设双曲线的方程为（0），将点P(4,3)代入方程得到 得到=-1.双曲线的方程为,(2)一个焦点为F（0）,可设方程为(m0,n0),将点P(4,3)代入方程得到 同时有m+n=10;将n=10-m代入解得：m=4或m=40,当m=4时，n=6,当m=40时，n=-30,不合题意，舍去，故m=4,n=6;a=2,b=c=顶点坐标为：A1
5、(-2,0),A2(2,0),离心率,8.(2010湛江高二检测)已知双曲线C:(a0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴交点为P,且 求a的值.【解题提示】解答本题（1）可将方程联立，消元后利用0求e的取值范围.解答本题（2）可将向量关系转化.,【解析】,9.(10分)设直线l:y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点.（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点？（2）是否存在实数a,使 且=(2,1)?若存在，求a的值，若不存在，说明理由.,【解析】（1）由 消去y整理得(3-a2)x2-2ax-2=0.依题意得3-a20,=4a2+8(3-a2)0,a26且a23,设A（x1,y1）,B(x2,y2)，由根与系数的关系得又以AB为直径的圆过原点，即x1x2+y1y2=0，(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0，a=1.,(2)假设存在实数a满足条件.(x1+x2,y1+y2)=(2,1),又故x12+y12=x22+y22,即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,所以a=-2.故存在a=-2满足条件.,
