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1、排列组合综合应用题,例8、10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；（2）4只鞋子没有成双的；（3）4只鞋子只有一双。,分析:,(1)因为4只鞋来自2双鞋,所以有,(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋,而从10双鞋中取4双有种 方法,每双鞋中可取左边一只也可取右边一只,各有 种取法,所以一共有 种取法.,(3)因为4只鞋来自3双鞋,而从10双鞋中取3双有 种取法,3双鞋中取出1双有 种方法,另2双鞋中各取1只有 种方法故共有 种取法.,引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础
2、上，学习和讨论排列、组合的综合问题。和应用问题。,问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？,解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；上述两种称“直接法”,当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法,采用“间接法”；另外，排列中“相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插空法等。,解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。,分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；,分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；,分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；,分为甲、乙、丙三组，每组4人；,分为三组
3、，每组4人。,例1：12 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。,答案,C125.C74.C33,C125.C74.C33,C125.C74.C33.A33,C124.C84.C44,分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。,小结：练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。,1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）种数的基础上乘以组数的全排列数。,2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。,3.部分平均分配问题中，
4、先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。,结论：给出组名(非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。,例2：求不同的排法种数。6男2女排成一排，2女相邻；6男2女排成一排，2女不能相邻；4男4女排成一排，同性者相邻；4男4女排成一排，同性者不能相邻。,例3：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打训练，两边都必须要1男1女，共有多少种不同的搭配方法。,分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选出2男2女，有C82.C72种；,然后考虑2男2女搭配，有多少种方法？,男女-男女,Aa-Bb,Ab-Ba,Bb-Aa,Ba-Ab,显然：与；与
5、在搭配上是一样的。所以只有2种方法，所以总的搭配方法有2 C82.C72种。,先组后排,1.高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？,练习：,（一）.有条件限制的排列问题,例1：5个不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？a,e排在一起多少种排法？a,e不相邻有多少种排法？a在e的左边（可不相邻）有多少种排法？,解：（解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。由乘法共有A22.A33=12(种
6、)排法。,优先法,二.排列组合应用问题,解：先从b,c,d三个选其中两个排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e排在中间三个位置有A33种，由乘法原理:共有A32.A33=36种排列.,间接法：A55-4A44+2A33（种）排法。,解：捆绑法：a,e排在一起，可以将a,e看成一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列，有A44种；a,e两个元素的全排列数为A22种，由乘法原理共有A44.A22(种)排列。,解：排除法：即用5个元素的全排列数A55，扣除a,e排在一起排列数A44.A22，则a,e不相邻的排列总数为A55-A44.A22（种）,插空法：即把a,e以外的三个元素全排列有
7、A33种，再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42种，由乘法原理共有A33.A42(种),解:a在e的左边(可不相邻)，这表明a,e只有一种顺序，但a,e间的排列数为A22，所以，可把5个元素全排列得排列数A55，然后再除以a,e的排列数A22。所以共有排列总数为A55/A22（种）,注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数 P33。,例2：已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。,（二）有条件限制的组合问题：,解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类：2个偶数，3个奇数；3个偶数，2个奇数；4个偶数，1个奇数。
8、所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105,解法2：从反面考虑，全部子集个数为P95，而不符合条件的有两类：5 个都是奇数；4个奇数，1个偶数。所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105,（三）排列组合混合问题：,例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E 5项工作。一共有多少种分配方案。,解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).,例3：从6名男同学和4名女同学中，选出3名
9、男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。一共有多少种分配方案。,解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种工作中任选3种（组合问题）分给6个男同学中的3人（排列问题）有C53.A63种,第二步,将余下的2个工作分给4个女同学中的2人有A42种.根据乘法原理共有C53.A63.A42=14400(种).亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配方案有C52.A42.A63=14400(种).,例4.九张卡片分别写着数字0，1，2，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？,解：可以分为两类情况：若取出6，则有 种方法；若不取6，
10、则有 种方法，,根据分类计数原理，一共有+602种方法,排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一。“具体排”可以帮助思考，可以找出重复，遗漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方法是“想透，排够不重不漏”是很有道理的。,解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体，直接法与间接法，全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用。,课堂小结,典型例题,1.4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少得1名，则不同的保送方案总数为（）。（A)36(B)24(C)12(D)6,2.若把英语单词“
11、error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（）（A)20(B)19(C)10(D)69,3.小于50000且含有两个5，而其它数字不重复的五位数有（）个。（A)(B)(C)(D),A,B,B,练 习,3.15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。,(1)分为三组，每组5人,共有_ 种不同的分法。,（2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各4人，共有_种不同的分法。,（3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组4人，共有_种不同的分法。,4.8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都不站中间两位的排法有_种。,5.某班有27名男生13女生，要各选3人组成班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有_ 种不同的选法。,
