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1、1.5 独立试验概型 二项概率公式,太原理工大学 数学学院,1.5 独立试验概型 二项概率公式,在随机试验中，经常会碰到这样一类试验，,每次试验的可能结果为有限个，且各次试验的,就是在相同条件下重复进行 次的试验，,结果互不影响，此 次试验显然是相互独立.,这种概率模型称作 重独立试验。特别地，,当每次试验只有两次结果 和，且,时，称为 重伯努利试验，,每次摸出一个，观察摸出球的颜色后再放回,回的摸球，而且每次摸到的球或为红色或为,努利概型.,也可称为 重伯努利概型，它是一种很重要,的具有广泛应用的概率模型.比如从装有,个红球、个白球的口袋中有放回的摸球，,口袋重新摸球.如此重复 次，因为是有
2、放,白色，只有两种可能的结果，显然为 重伯,恰好发生 次的概率可归结为以下定理.,一般地，在 重伯努利试验中，事件,定理 1 在伯努利试验中，事件 在,次试验中恰好发生 次的概率为,件 发生，而其余 次试验中事件 不发,生”，表示事件“在第 次试验中 发生”，则,证明 设 表示事件“在前 次试验中事,事件 的概率为,易见，次试验中“在某 次 发生，而其余,次 未发生”的概率与到底在哪 次发,生无关，都等于，而事件 发生,在某 次共有 种不同的选择，故 次试验,中事件 恰好发生 次的概率为,该公式正好与 的二项展开式中第,发生 次的概率为,类似可得 重伯努利试验中事件 至少,项完全相同，故有时又
3、称之为参数为,和 的二项概率公式.,样品中恰好有三件次品及至多有三件次品的,重复抽样，共抽取五件样品，分别计算这五件,概率.,由已知，利用二项概率公式可得恰好有三件,中恰好由零件、一件、两件、三件次品事件，,次品的概率,解 设、分别表示五件样品,例1 一批产品中有 的次品，现进行,至多有三件次品的概率为,定理2（二项分布的Poisson逼近）在,验中发生的概率，它与 有关，如果,重伯努利试验中，以 代表事件 在一次试,则,证明过程用到微积分学中重要极限公式.在,证明 记,以利用下面的近似公式：,例2 自某工厂的产品中进行重复抽样检,件废品，问能否相信该工厂产品废品率不超,实际问题中当 相当小，而 比较大时，可,查，共取 件样品，检查结果发现其中有,过？,根据人们在长期实践中总结出来的一条,概率的实际不可能原理）.现在，可以认为,几乎是不可能发生的（概率论中称之为小,原理：概率很小的事件在一次试验中实际上,易算得 件产品中出现 件废品的概率为,解 假设该工厂产品废品率为，容,当工厂产品废品率为 时，抽检 件产,在一次试验中就发生了，因此有理由怀疑假,是不可信的.,利用Poisson逼近,可见与前面计算结果符合的比较好.,品出现 件废品是一概率很小的事件，而它,定的正确性，即工厂产品废品率不超过,由于 相当小,而 比较大，,
