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1、(认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定/能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题),7.5 直线与平面垂直,1定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a.2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行,4二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组
2、成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为，的二面角记为l；5二面角的平面角一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则AOB是l的平面角,两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直8两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面,1对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A平行 B相交 C垂直 D互为异面直线解析：若直线l，l，
3、或l，虽然在内必有直线m，使ml；若l是平面的斜线可找出其射影l，则存在直线ml，即ml.答案：C,2如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分 别为 和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，若AB 12，则AB等于()A4 B6 C8 D9,解析：连结AB可知ABA，则ABABcos 6，连结AB可知BAB，则BBABcos 6，在RtBBA中，AB 6.答案：B,3已知平面，l，P是空间一点，且P到平面、的距离分别是1、2，则点P到l的距离为_解析：如图，PO平面PAB，lPO.PO就是P到直线l的距离，PAOB为矩形，,4平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，
4、已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1；2；3；4.以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号)答案：,证线面垂直的方法：(1)利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面(2)用线面垂直的判定定理：证一直线与平面内两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直(3)用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于这个平面，则另一条也必垂直于这个平面(4)用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面(5)用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面,【例1】如右图，在正方体ABCDA1B1C1D
5、1中，O为底面正方形 的中心，M为棱DD1的中点，试证：B1O平面MAC.证明：证法一：如图(1)，连结AB1、CB1，由AB1CB1，又O为AC的中点，B1OAC.连结OM、MB1、B1D1，可证，B1OOM.根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O平面MAC.,证法二：如图(2)建立直角坐标系Dxyz，设DD11则M、C、B1、O的坐标分别为(0,0，)、(0,1,0)、(1,1,1)、(，0)(0,1，)，(，1)，0，因此.同理可证：，B1O平面MAC.,变式1.在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD，试证：ADBC.证明：证法一：如右图，过A点作AO平面BCD，垂足为O，连结BO、
6、CO、DO.由ABCD，ACBD，根据三垂线定理的逆定理知：BOCD，COBD，则O为BCD的垂心，DOBC.根据三垂线定理知ADBC.,证法二：设 根据已知条件 得a(bc)0，即ADBC.点评：证法一非常典型地体现了三垂线定理和逆定理的应用；而证法二利用向量将几何问题彻底代数化，此种方法也可证明三角形的三条高线交于一点.,1.平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决2利用平面与平面垂直的性质定理，可以有所选择地作出一个平面的垂线，进而可解决空间的成角和距离等问题，因此作平面的垂线也是立体几何中最重要的辅助线之一,【例2】如右图，l，A，B，点 A在直线l上的射影为A1，点B在l
7、上的射影为B1.已 知AB2，AA11，BB1，求：(1)直线AB分别与平面、所成角的大小；(2)二面角A1ABB1的大小,解答：如图，(1)连结A1B，AB1.，l，AA1l，AA1.A1B为AB在内的射影，ABA1为AB与所成的角，在RtAA1B中，AA11，AB2，ABA130.同理BAB1为AB与所成的角，在RtABB1中，BB1，AB2，BAB145.,(2)由知BB1，则平面平面ABB1，作A1M平面ABB1垂足为M，作MNAB，垂足为N，连结A1N(如图)，由三垂线定理知，A1NAB，则A1NM为二面角A1ABB1的平面角，在RtAA1B1中，A1M，在RtAA1B中，A1N，在
8、RtA1NM中，sinA1NM，A1NMarcsin，所求二面角A1ABB1的大小为arcsin.,变式2.如图所示，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证AE平面BCE；(2)求二面角BACE的大小；(3)求点D到平面ACE的距离 解答：(1)证明：在直二面角DABE中，由ABCD是正方形，则CB平 面AEB，AEBC，又BF平面ACE，则AEBF，AE平面BCE.,(2)由(1)知平面AEC平面BCE，又BF平面ACE，则BFEC，连结BD与AC交于O点，连结OF(如图)，由三垂线定理的逆定理知FOAC，又ACBD，则B
9、OF为二面角BACE的平面角，在RtAEB中，BE，在RtEBC中，BC2，BF，在RtBFO中，sinBOF，BOFarcsin.(3)由DOBO知D点到平面ACE的距离为BF.,解决二面角问题的主要过程是作图、论证与计算，首先要找出二面角的平面 角，作二面角的平面角方法主要有根据定义，利用三垂线定理和逆定理等【例3】如右图所示，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直 平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SAAB，SBBC.(1)求证：BD平面SAC；(2)求二面角EBDC的大小,解答：(1)证明：DESC且E为SC的中点，又SBBC，BESC，根据直线与平面垂直的判定定理
10、知：SC平面BDE，SCBD，又SA平面ABC，SABD，因此BD平面SAC.,(2)由(1)知EDC为二面角EBDC的平面角，又SACDEC，EDCASC，在RtSAB中，A90，设SAAB1，则SB.由SABC，ABBC，BC平面SAB，BCSB，在RtSBC中，SBBC，SBC90，则SC2，在RtSAC中，A90，SA1，SC2，ASC60，即二面角EBDC的大小为60.,变式3.如图所示，在四面体PABC中，已知PABC6，PCAB10，AC8，PB2.F是线段PB上一点，CF，点E在线段AB 上，且EFPB.(1)证明：BP平面CEF；(2)求二面角BCEF的大小,解答：(1)证明
11、：PA2AC2PC2，PA2AB2PB2，PC2CB2PB2，AC2CB2AB2.PACPABPCBACB90，又，PCBPFC.则PFC90，又EFPB，因此PB平面CEF.,(2)由(1)PA平面ABC，则PAEC，又PB平面CEF，CEPB 则CE平面PAB，因此CEEF，CEEB，则FEB为二面角BCEF的平面角，在ABP中，tanFEBtanAPB，FEBarctan.即二面角BCEF的大小为arctan.,【方法规律】1(1)在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化(2)利用向量的内积证明线线垂
12、直是非常有效的2(1)对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的,(2)二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据.,(本题满分5分)已知平面与所成的二
13、面角为80，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30，则这样的直线有且仅有()A1条 B2条 C3条 D4条,解析：如图，过P分别作、的垂线PC、PD，其确定的平面与棱l交于Q，若二面角为80，AB与平面、成30角，则CPD100，AB与PD、PC成60角，因此问题转化为过P点与直线PD、PC所成的角为60的直线有几条 60，60，这样的直线有4条答案：D,【答题模板】,面面垂直的性质定理是立体几何中作辅助线(平面的垂线)最重要的理论依据之一对二面角及平面与平面垂直的考查是高考的重点和热点求直线与平面所成的角以及二面角的大小，可用几何法，也可利用向量法(比如利用平面的法向量)本题考查直线与平面成角问题，可利用平面的法线，将线面位置关系问题转化为线线位置关系实质上是已知直线a，b相交于点O，两相交直线的夹角为100(或80)，过O点作与a、b夹角为60的直线有几条？转化思想是解决数学问题非常重要的思想方法，否则直接求解，难度更大.,【分析点评】,点击此处进入 作业手册,
