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1、第四章 转动群,连续群(continuous):群元可由一组独立实参量描述,其中至少有一个参量在一定区域是连续变化的.设连续参量的数目为r(1rn),记为 r称为该连续群的阶.r个独立实参量的变化区域称为群参数空间,4.1 一些基本概念,连续群G的群元g,可由r个连续实参量表征,即,单位元素可用一组零参量来表征,即,设一个集合G的元素g可由r个实参量来表征,即,如果g()满足下列条件:1)集合G中存在一个单位元素e=g(0),对任意元素g()G,有,李群,2)逆元:对任意,存在,使,通常取0=0,0,0,即对于任意元素g()G,存在逆元素,3)封闭性:对于任意两个元素g(),g()G,其乘积仍
2、属于G.即在参数空间中能够找到一个参数,使,4)结合律:对任意,有,是,的实函数,即,则连续群G称为李群.,或,5)=f(,)是,的解析函数(连续可微),是的解析函数.,称为李群的结合函数.,连通性:如果从连续群的任意一个元素出发,经过r个参量的连续变化,可以到达单位元素,或者说如果连续群中的任意两个元素可以通过r个参量的连续变化连结起来,则称此连续群是连通的.这样的李群称为简单李群,否则称为混合李群.,紧致李群:如果李群的参数空间由有限个有界的区域组成,则称该李群为紧致李群,否则称为非紧致李群.,1)所有实数以数的加法为群的乘法构成一个一阶李群.群参数为群元本身.结合函数为=+.一阶非紧致简
3、单李群,例:,2)空间平移群:三维实空间中的所有平移变换,构成一个李群,群元由三个独立的实参量,表征.,三阶非紧致简单李群.,3)二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群.即,SU(2)是一个三阶紧致简单李群,其中,为实参量.,满足条件,SU(2)的群元可写为,或写为,4)三维实正交群O(3):所有三维实正交矩阵构成的连续群.群元由3个实参数标记.群元满足正交条件,三维实特殊正交群SO(3):所有行列式为+1 的3维实正交矩阵构成的连续群,群元由3个实参数标记.,O(3)保持实二次形,不变,SO(3)群对应于三维实空间保持原点不变的三维转动群,群元为转动矩阵,由三个实参量
4、0,0,0 2 来表征.三阶紧致简单李群.,三维实正交群O(3)=SO(3)E,I.由行列式分别为1的互不连通的两叶构成,其参数空间包含两个互不连通的区域,是三阶紧致混合李群.,空间转动群:三维实坐标空间R3保持原点不变的所有转动变换构成的群,对应于特殊实正交矩阵群SO(3).,1)SO(3)群的群元可用绕过原点方位角为(,)的转动轴k的转过角的转动变换Ck()表示.在笛卡尔坐标系中,绕三个坐标轴x,y,z的转动元素分别为,SO(3)群的参数化:,4.2 转动群SO(3)与二维特殊酉群SU(2),2)SO(3)群的群元也可用三个欧拉角,来标记.SO(3)转动元素由相继三个转动变换生成:(1)绕
5、z轴转角,02;(2)绕新的y轴(y轴)转角,0;(3)绕新的z轴(z轴)转角,0 2.即,二维特殊酉群SU(2):所有行列式为+1的二维酉矩阵构成 的群.三阶紧致简单李群,群元由三个实参数表示,或,SU(2)群与SO(3)群的关系:,对于SU(2)中的任意一个元素uSU(2),可定义一个三维实坐标空间中一个变换Ru如下:,为泡利矩阵.是三个独立二阶零迹厄米矩阵.,定义:,则Ru满足,1)Ru是三维实坐标空间中实正交变换,即,2)det(Ru)是a,b的连续函数,det(Ru)=1.,则SU(2)中任意一个元素都对应于SO(3)中一个元素Ru,3)上述映射关系保持乘法规律不变,4)上述映射关系
6、是SU(2)到SO(3)的同态映射,即对于SO(3)中任何一个元素,都能在SU(2)中找到一个元素与之对应.,SO(3)中一个元素R(,),都能在SU(2)中找到一个元素与之对应,存在SU(2)群到SO(3)群的同态.,5)同态核由,组成,对应SO(3)中单位元素.,SU(2)群到SO(3)群的同态映射是二对一的同态,SU(2)中两个元素u,-u对应于SO(3)中同一元素.,4.3 SU(2)群的不可约表示,SU(2)群元是二维复向量空间上的酉变换,有序复数(,)是二维复向量空间中任意向量.考虑和的2j次齐次函数构成的2j+1维函数空间,以j为基底生成一个2j+1维的线性复函数空间,在SU(2
7、)群元作用下,(,)变为(,).构造一个映射,将,利用二项式定理,变为,根据负整数的阶乘为无穷,并进行变量代换=j-k-k,得到SU(2)群元u的表示矩阵,Aj保持SU(2)的乘法规律不变,表示Aj是SU(2)的酉表示:,如果对角矩阵A对角元素各不相同,则与之对易的矩阵 必是对角矩阵.,表示Aj是SU(2)的不可约表示:,2)如果对角矩阵A矩阵B对易,且B中有一列不含一个零,则A必为常数矩阵.,与SU(2)表示矩阵Aj(u)对易的SU(2)的矩阵必为常数矩阵:,当SU(2)元素中参数取a=exp(i/2),b=0时,2)Aj(u)第一列,SU(2)元素,SU(2)的类结构和特征标:,本征值,可
8、将本征值取为,参数a实部相同的所有元素本征值相同.本征方程,本征值只与Re(a)有关,Re(a)相同的所有元素本征值相同,通过相似变换联系,相互等价,互为共轭元素.,2)取SU(2)元素,SU(2)的类结构和特征标:,表示Aj的特征标为,u()与u()属于同一类,则可用u()标记SU(2)群的类.,4.4 SO(3)群的不可约表示,SU(2)群有到SO(3)群的同态映射是二对一的同态,保持乘法规律不变.SU(2)中两个元素(u,u)对应于SO(3)中同一转动元素Ru.,对于SU(2)的表示Aj,当j为整数时,有Aj(u)=Aj(u),SU(2)中两 个元素(u,u)对应于同一表示矩阵.则Dj(
9、Ru)=Aj(u)是SO(3)的一个表示,称为单值表示.,对于SU(2)的表示Aj,当j为半整数时,有Aj(u)=Aj(u),根据同态 关系,有两个矩阵Aj(u)对应于SO(3)中一个元素,Dj(Ru)=Aj(u)不是SO(3)的表示.,SO(3)群中具有相同转角的元素属于同一类.可用Ck()标记.特征标为,4.5 李群的无限小生成元,设李群由r个实参量来表征,恒元由零参量标记0,恒元附近的无穷小元素由无穷小参量,将结合函数作泰勒展开,结合函数为,描述.,是群元g()邻域的元素.,定义,考虑的任意一个解析函数F()的变化,即,则,则,称为李群的无限小生成元.,例:,SO(2)为绕固定轴z转动群,群元可参数化为,1)SO(2)的无限小生成元,无限小生成元,结合函数为,则,例:,SO(3)群元可参数化为绕k轴的转动Ck(),2)SO(3)的无限小生成元,无限小转动将空间一点变到,任意函数变为,
