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1、对二阶线性偏微分,主部,特征方程:a11(dy)2-2a12 dx dy+a22(dx)2=0,解得:,令,积分,方程的化简与分类,特征方程的应用,利用特征线法求解双曲方程,自变量的非奇异变换,特征方程的导出,例1 求一维齐次双曲型方程通解,令,特征线方程,特征方程的应用,从而,令,由,代入 utt=a2uxx 化简，得,通解 u(x,t)=f(x at)+g(x+at),二阶方程自变量的变换:a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f,自变量的非奇异变换,其中,是二次连续可微；,且,引入如下变换,从而可将原方程化为,再考虑引例,其中,特征方程的导出,下面分三种情
2、况来讨论：,1.在点(x0,y0)的某邻域内,如果=a122-a11a220,存在两族相异的实特征线：,2.在点(x0,y0)的某邻域内,如果=a122-a11a22=0,3.在点(x0,y0)的某邻域内,如果=a122-a11a220,1.由 a11uxx+2a12uxy+a22uyy=0 构造二次方程,3.写出新方程及通解,求解,得,2.构造线性变换,4.将变换表达式代入得原方程通解,利用特征线法求解双曲方程,例2 求方程的通解 uxx+2uxy 3uyy=0,=1(1)31(-1)+33=8,通解:,解:由特征方程,非奇异变换:,例3.讨论 x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0 的类型,并化为标准型,再求通解.,特征方程,判别式:,构造变换:,a122 a11a22=(xy)2 x2y2=0 故,该微分方程为抛物型。,x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0,a11,a12,a22,标准型:,通解:,习题 2.4(P.36)1:(1)、(4)2:(1)、(3)、(6),
