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1、1.概念的引入,实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000时.,4.2 随机变量的方差,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,为此需要引进另一个数字特征,刻划随机变量在其中心位置附近分散程度的大小这一特征，其中最重要的是方差。,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,2.方差的定义,D(X)描述 r.v.X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度,数,(1)方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量.如果 D(X)值大,表示 X 取值分散程度大,E(X
2、)的代表性差;而如果 D(X)值小,则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.,3.注释,(2)对任意的随机变量D(X)不一定存在，例如(Cauchy分布)，因为E(X)不存在,所以D(X)不存在。,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,4.随机变量方差的计算,(1)利用定义计算,证明,(2)利用公式计算,例甲、乙两射手的例中，,例随机变量X的概率密度为 求E(X)，D(X)。,例 设r.v X服从几何分布，概率函数为,P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,，n,其中0p1,求D(X),解：,记 q=1-p,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),5.方
3、差的性质假定以下所遇到的随机变量的方差存在:(1)设C是常数，则D(C)=0；(2)设X是随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X),从而 D(aX+b)=a2D(X)；(3)设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(XY)=D(X)+D(Y)；证:D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2=E(X-E(X)+(Y-E(Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y),由于X，Y相互独立，XE(X)与YE(Y)也相互独立，由数学期望的性质，2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y).这一性质可以推广到任
4、意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。,则,若X,Y 相互独立,(4)对任意常数C,D(X)E(X C)2,当且仅当 C=E(X)时等号成立,(5)D(X)=0,P(X=E(X)=1,称为X 依概率 1 等于常数 E(X),例若随机变量X1,X2,Xn相互独立，E(Xi)=m，D(Xi)=2，其中i=1，2，n.求 X=的数学期望和方差。,解.由数学期望和方差的性质，可以得到：,例若X,Y为相互独立的连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y),则,6几种重要随机变量的数学期望和方差(1)设随机变量X具有(0-1)分布，其分布律为PX=0=1-p，PX=1=p,则D(X)=p(1-p)。证:E
5、(X)=0(1-p)+1p=p,E(X2)=02(1-p)+12p=p，D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)。,(2)二项分布 设Xb(n,p),，其分布律为,则E(X)=np,D(X)=npq。,(2)二项分布 设Xb(n,p),，其分布律为,证：令Xi服从参数为P的(0-1)分布，i=1，2，n，且X1，X2，Xn相互独立,则X1+X2+Xn b(n,p)，于是 E(X)=E(X1+X2+Xn)=np,D(X)=D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)=np(1-p)=npq.将X表示成n个随机变量之和，可将方差的计算简化。这是计算方差的一个技巧。,则
6、E(X)=np,D(X)=npq。,(3)泊松分布 设若 X(),其分布律为 则E(X)=,D(X)=。,所以方差为 D(X)=E(X2)-E(X)2=.泊松分布只含一个参数，因而只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布。,(4)均匀分布 设X在区间(a，b)上服从均匀分布，则E(X)=(a+b)/2，,(5)正态分布 若XN(,2)，则E(X)=，而方差为D(X)=2.证：X的概率密度为：,正态随机变量的分布完全可由这的数学期望和方差确定。特别地，XN(,2)，Y=(X-)/，根据正态分布的性质知Y服从正态分布而E(Y)=0，D(Y)=1，故YN(0，1)。这样导出Y的分布N(0，1)
7、与第二章中的方法要简便得多。,仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布,与,有相同的期望方差但是分布却不相同,例如,7契比雪夫不等式 定理 设随机变量X的期望和方差都存在，且 E(X)=,D(X)=2，则对任意的0,有,证：只对连续型情况给出证明。设X的概率密度为f(x)，则有,意义：(1)契比雪夫不等式也可改写成如下的形式,(2)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件|x-|的概率的一种估计方法。例如:,(3)契比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)的意义。从契比雪夫不等式可以看出，随机变量X的方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-,E(X)+)之内。,例 已知正常男性成
8、人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用契比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率.,解：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7002,由契比雪夫不等式,P|X-E(X)|2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9.,例 设随机变量X的概率密度为，m为自然数，证明:,由契比雪夫不等式：,8.矩,1)定义,2)说明,例:设XN(,2),求:X的k阶中心矩ak(k为正整数)。解:E(X)=,当k为奇数时,ak=0。,当k为偶数时,由此推递关系,而a2=D(x)=2,所以当k为偶数时:,所以X的k阶中心矩为,
9、特别地，若XN(0,1),则,例:设X，Y为两个随机变量，E(X2)，E(Y2)都存在 且E(X2)0，E(Y2)0，则有 E(XY)2E(X2)E(Y2).()证明:令g(t)=E(tX+Y)2=t2E(X2)+2tE(XY)+E(Y2)由于对于任意实数t，有g(t)0，又E(X2)0,所以 2 E(XY)2-4E(X2)E(Y2)0,即得E(XY)2E(X2)E(Y2).称()式为柯西许瓦兹不等式，此不等式中等号成立的充要条件是存在常数a，使得PY=aX=1.另外当E(X2)或E(Y2)为零时，()式仍成立，只不过此时()式两边都为零。,补充：标准化随机变量,设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为 X 的标准化随机变量.显然，,
