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1、4.3 协方差和相关系数,1.定义 若EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)或Cov(X,Y),即,Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),协方差,2.协方差的计算,4.3.1 协方差,离散型随机向量,其中 PX=xi,Y=yj=pij i,j=1,2,3,.,连续型随机向量,3.协方差计算公式,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y),（1）若 X与Y独立,则Cov(X,Y)=0,注,（2）D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),4.协方差的性质,（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X),（2）Cov(aX,bY)=abCov
2、(X,Y),a,b 为常数,（3）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),（4）当X与Y相互独立时，有Cov(X,Y)=0,例1 设二维随机变量的联合分布律为,其中p+q=1，求相关系数XY,解 由(X,Y)的联合分布律，可得X与Y的边缘分布律为,均为0-1分布，于是有,所以,求,解 因为,同理可得,例2设二维（X，Y）随机变量的密度函数为,由协方差的性质(2)知,协方差取值的大小要受到量纲的影响,为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差,1.定义 对于随机变量X和Y,若D(X),D(Y),则称,为随机变量X和Y的相关系数（标准协方差）。,当XY=
3、0时,称X与Y不相关。,（1）|XY|1；,（2）|XY|=1当且仅当 PY=aX+b=1,其中a,b为常数。,相关系数XY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。,4.3.1 相关系数（标准协方差）,.性质,证明（1）,即,(2)由方差性质得,成立的充分必要条件为,而,的充要条件是,即,从而,且,于是由:,得,这说明X与Y是不相关的,但,显然，X与Y是不相互独立的,例3 若XN(0,1),Y=X2,问X与Y是否不相关？,解 因为XN(0,1),密度函数,为偶函数,所以,解 X，Y的联合密度f(x,y)及边缘密度 fX(x),fY(y)如下：,例4 设(X,Y)服从二维正态分布，求X,Y的相关系数
4、。,1.将一枚不均匀硬币投掷n次，以和分别表示出现正面和反面的次数，则和的相关系数为（）；（）；（）；(D)1。,2.设随机变量和独立同分布，记U=X+Y,V=X-Y,则和（）不独立；（）独立；（）相关系数为；（D）相关系数不为。,3.设是随机变量，=aX+b(a),证明：,.设随机变量的概率密度为,求与|X|的协方差，问和|X|是否不相关，是否相互独立,练 习 题,选例1,求XY,解 E(X)=2,E(Y)=2；,E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2；,D(X)=1/2,D(Y)=1/2。,E(XY)=,Cov(X,Y)=23/6 4=-1/6;,选例2 设随机变量X的方差D(X)且 Y=aX+b(a),求X和Y的相关系数XY,解,证明(1)因为,同样 E(Y)=0,于是XY=0，所以 X与Y不相关。,选例3 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。,显然，fX(x)fY(y)f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。,(2),选例3 已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。,
