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1、2.3.3 向量数量积的坐标表示与度量公式,问题：如何用向量的长度、夹角反映数量积？如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？,练习1：已知|a|=1，|b|=，(1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为60，求|a+b|；(3)若ab与a垂直，求a与b的夹角.,45,练习2：设i，j为正交单位向量，则 ii=_ jj=_ ij=_,0,1,1,1.向量内积的坐标运算,abx1x2+y1y2.,若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则,推广1：设a=(x,y)，则|a|2=x2+y2或(长度公式),推广2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则(距离公式),推广3：cos=
2、（）(夹角公式),2.向量垂直的充要条件,已知两个向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，那么,ab x1x2+y1y2=0,例1.设a=(3,1)，b=(1,2)，求ab，|a|，|b|，和,解：ab=(3,1)(1,2)=3+2=5.,|a|=,|b|=,cos=,所以=45,例2.已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，求证：ABC是直角三角形,证明：,=(1,1),=(3,3),所以,=3+3=0，,即ABAC，ABC是直角三角形.,例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求BAC的正弦值。,例4.已知a=(4,2)，求与a 垂直的单位向量。,解：设所求向量为(x,y),则,解得,所求向量为,例5已知点A（a，b）与点A（b，a）,求证直线y=x是线段AA的垂直平分线。,证明：设线段AA的中点是M(x,y)，依据中点公式，有,由此得x=y，点M在直线y=x上，在直线y=x上任取一点P(x,x),所以,因此，直线y=x是线段AA的垂直平分线.,例6.已知a=(1,0)，b=(2,1)，当k为何实数时，向量kab与a+3b（1）平行；（2）垂直。,解：kab=(k2,1),a+3b=(7,3),（1）由向量平行条件得3(k2)+7=0,所以k=,（2）由向量垂直条件得7(k2)3=0,所以k=,
