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1、1,回顾 曲边梯形求面积的问题,定积分的微元法,第六章 定积分的应用,2,求曲边梯形面积的步骤：,3,4,5,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,6,1、直角坐标系情形,曲边梯形的面积,第一节 定积分在几何上的应用,7,曲边梯形的面积,如果图形是由两条曲线围成,8,一般地,设两条连续曲线,与直线,所围平面图形面积为,A,则,9,解,两曲线的交点,10,解,两曲线的交点,选 为积分变量,11,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,12,13,解,两曲线的交点,选 为积
2、分变量,14,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,15,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,16,例5.求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.,解:,17,18,19,2、极坐标系情形,20,曲边扇形的面积,2)、极坐标系下求面积,、,21,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,22,解,利用对称性知,例9 求心形线,(a 0)所围图形的面积。,23,24,25,二、平面曲线弧长,26,弧长元素,弧长,1、直角坐标情形,27,解,所求弧长为,28,解,29,曲线弧为,弧长,2、参数方程情形,30,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分
3、的弧长,31,证,32,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,33,曲线弧为,弧长,3、极坐标情形,34,解,35,解,36,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1、旋转体的体积,37,旋转体的体积为,38,解,直线 方程为,39,40,解,41,42,43,44,45,解,46,47,48,解,体积元素为,49,50,2、平行截面面积为已知的立体的体积,51,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,52,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,53,垂直 轴的截面是椭圆,例10.计算椭球面,所围立体(椭球),的体积
4、.,解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当 a=b=c 时就是球体体积.,54,55,56,3、旋转体的侧面积,对于旋转体的侧面积，在小区间,上用圆周长,与弧长微元,的乘积作为部分量,的近似值,侧面积的微元,图616,57,于是，旋转体的侧面积,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕,x,轴旋转一周所得旋转体的,侧面积为,58,例1.计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.,解:对曲线弧,应用公式得,当球台高 h2R 时,得球的表面积公式,59,例2.求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S.,解:利用对称性,绕 x 轴旋转,星形线 目录 上页 下页 返回 结束,1、求在直角坐标系下、参
5、数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,四、小结,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,2、求弧长的公式,61,61,3、旋转体的体积,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,绕 轴旋转一周,4、平行截面面积为已知的立体的体积,5、旋转体的侧面积,62,习题与思考题,62,1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.,提示:交点为,弧线段部分,直线段部分,以 x 为积分变量,则要分,两段积分,故以 y 为积分变量.,63,解答：,64,积分得,所以所求曲线为,两边同时对 求导,65,解答：,交点,立体体积,66,66,4、求位于曲线,与直线 y=2 围成的,x=0 到 x=2 的一块平面图形，,绕 y 轴旋转所产,生的旋转体体积Vy。,解 先求簿圆柱壳体的体积,其高,从,67,67,5、试用定积分求圆,绕 x 轴,上,半圆为,下,求体积:,提示:,方法1 利用对称性,旋转而成的环体体积 V 及表面积 S.,68,68,方法2 用柱壳法,说明:上式可变形为,此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).,69,69,5、求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,又,故在区域,解：,
