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1、目录 上页 下页 返回 结束,2.2 解的存在惟一性定理,引入：对于给定的微分方程,它的通解一般有无限多个,而给定初始条件后,其解有时惟一,有时不惟一.,确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一性十分重要:(一)它是数值解和定性分析的前提;(二)若实际问题中建立的方程模型的解不是存在且惟一的,该模型就是一个坏模型.,而同一方程满足,例1:初值问题 有解:在.,的解为:,.它的存在区间为,例3:初始值问题:,有无穷多解,存在区间为:,例子和思路例 4:证明初值问题,的解存在且惟一。,满足,取,惟一性证明:设有两个解,这就证明了惟一性。,2.2.2 存在惟一性定理及其证明,上连续，如果有常数 L0,
2、使得对于所有的,都有:,考虑微分方程:,Lipschitz 条件:,(2.2.3),L 称为 Lipschitz 常数。,定理1:,在R上连续且关于y满足,在区间,Lipschitz条件，则初值问题,证明：,若,（）将初值问题解的存在惟一性化为积分方程的解的存在惟一性,思路：,(2.2.3),（）构造积分方程迭代函数序列，并证明该序列收敛,（）证明该序列的极限是积分方程的解,（）证明惟一性,详细证明：,的解等价。,（2）构造 Picard 迭代数列,这样就得到一个连续函数列,（3)Picard 序列的收敛性,证明:,则,证明：考虑函数项级数,它的前,估计级数通项:,项的部分和为:,其中第二个不
3、等式由Lipschitz条件可以得到，,于是，由数学归纳法得，对于所有自然数k，有,由Weiestrass判别法知，,设:,引理1.3,是积分方程定义于,上的连续解。,证明：由 Lipschitz 条件,上一,即,（5）解的惟一性,证明：,则,引理 1.4,上的连续解，则必有,令,且,令,于是,注1:,定理中,的几何意义:,故取,.,注2:,函数,的连续性得解的存在性,Lipschitz条件得解的惟一性,注:,定理的结论只是在局部范围内给出解的存,惟一性在许多情况下，可反复使用该定理，,使解的范围延拓到最大的区间,则在,解有可能跑到,之外,的解,连续，且它关于y有连续的偏导数。,计算,例证明初始值问题：,故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解,内存在唯一，当然也在,内存在唯一。,对于任意的正数,函数,在,因,任意先取,使,最大,解：,的解存在唯一的区间,例讨论初始值问题,取,则由定理得解的存在惟一区间为：,再使用依次存在惟一性定理：,当,时，,取得最大值,此时,故取,可得到解在,上存在，事实上，初值问题的解是：,存在区间为：,内容小结,微分方程解的存在惟一性,迭代法构造解的思想,
