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1、23.9.18,2.2 离散型随机变量,一、离散型随机变量的分布律,称X 是离散型随机变量.,定义：如果随机变量X 至多取可列无穷个数值：x1,x2,记 pi=PX=xi,且满足,23.9.18,表示为,称 pi=PX=xi，i=1,2,为X 的分布律.,质量分布图（分布律的直观解释）,质量为p1,质量为pn,总质量为1,23.9.18,上节例1中赌博彩金Y 是离散型随机变量，其分布律为：,产品检验试验,其它例子,对于离散型随机变量X，由概率可加性，因,23.9.18,二、贝努里试验和二项分布,E1：抛一枚硬币出现正反面;,E2：检查一件产品是否合格;,E3：射击，观察是否命中;,E4：考一门
2、课，是否通过;,贝努里试验,23.9.18,特点 关注试验的两个结果:A 和.,实际结果可能不止两个,令随机变量,贝努里试验仅有两个基本事件：A和，,记 P(A)=p,23.9.18,思考 怎样求X 的分布函数?,则X 的分布律为,称X 服从(01)分布,定义 将试验E 按下述条件重复进行n次,(1)每次试验的条件不变；,(2)各次试验的结果互不影响.,称这n次试验为n次重复独立试验.,23.9.18,当试验E 是贝努里试验，称这n次独立试验为n重贝努里试验，或称贝努里概型.,对于n重贝努里试验，可考察哪些问题，考虑哪些变量,？,(2)事件A 首次发生时的试验次数Y；,(1)n次试验中事件A
3、发生的总次数X；,(3)事件A 发生k次时的试验次数Z；,23.9.18,定理 在n 重贝努里试验中,事件A 发生概率为P(A)=p，0 p 1，则事件A 发生的次数 X 的分布律为,事件A在指定的k 次试验中出现的概率为,证 n重贝努里试验中，事件A 发生的总次数X 可能取数值：0，1，2，n.,23.9.18,且各种方式的事件互不相容，由概率的有限可加性可得,结论成立.,称随机变量X 服从二项分布,记为X B(n,p).,(01)分布可以看作X B(1,p).,从n次试验中选出k 次试验有 种不同的方式.,23.9.18,产品抽检试验,强弱对抗试验,设备排障试验,三、泊松分布,定义：若随机
4、变量X 的分布律为,称X 服从参数为l 的泊松分布.记为 X P(l).,23.9.18,泊松分布的重要性在于:,(1)现实中大量随机变量服从泊松分布;,(2)泊松分布可视为二项分布的极限分布.,存储问题,定理 设随机变量序列Xn B(n,pn),n=1,2,即有,23.9.18,证明略.,思考：你能从条件,中分析出什么结论吗？,注,23.9.18,(2)实际问题中,n 次独立重复试验中,“稀有事件”出现的次数可认为服从泊松分布.,当n 够大,p 较小时有,其中l=n p.,设备排障试验,23.9.18,例1 某种产品在生产过程中的废品率为p（0p1），对产品逐个检查，直到检查出 5个不合格品
5、为止，试写出停止检查时已检查的产品个数X 的分布律.,解 关键是分析随机事件X=k,事件 X=k 相当于第k 次检查到的产品必为不合格品，而前k 1 次检查中查出4 件不合格品.,如指定前4次：,23.9.18,不合格,合格,进行 k 次检查，指定的5次检查出现不合格品的概率为 p5（1 p)k 5.,故分布律为,#,从前k1次检查中选出4 次出现不合格产品共有 种不同的方式.,23.9.18,例2 设有一批同类产品共有N 个，其中次品有M 个，现从中逐个有放回地取出n 个，试求取出n 件中所含的次品件数X 的分布律.,分析 产品是逐件有放回取出，各次抽到次品是相互独立的，抽n 件产品相当于做
6、n 重贝努里试验，并 关注事件发生的总次数.,23.9.18,故 X 的分布律为,思考：将抽取方式改为无放回抽取,试写出X 的分布律.,#,其中 k=0,1,2,n.,23.9.18,例3 强弱两队进行乒乓球对抗赛，得胜人数多的一方获胜，已知强队每个队员获胜的概率为0.6，下面两个方案中哪一个对弱队有利？（1）双方各出3人；（2）双方各出7人.,解：设A=弱队获胜，弱队获胜的人数为X.,双方逐对较量独立进行，故为独立重复试验.,（1）当双方各出3人时,X B(3,0.4),23.9.18,（2）当双方各出7人时，X B(7,0.4).,故第一种方案对弱队更有利一些.,#,23.9.18,例4
7、某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月销售量可以用参数为=10的泊松分布来描述。为了以95%的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少该种商品(设仅在月底进货)？,解 设该商店每月销售件数为X，月底存货为a件,需求a使,23.9.18,这家商店在月底保证存货不少于15件就能以95%的概率保证下个月该种商品不会脱销.,23.9.18,例5 有300台独立运转的同类机床，每台机床发生故障的概率都是0.01，若一人排除一台的故障.问至少需要多少名工人，才能保证不能及时排除故障的概率小于0.01.,解：设X 表示同一时刻发生故障的机床数,则 X B(300,0.01).,若 配N 个工人,应使 0.01 P X N=1 P X N,23.9.18,即求使上述不等式成立的最小N 值.,续例4,因为3000.01=3(n较大，p较小),故可认为X近似服从=3 的泊松分布，即 X P(3).,#,23.9.18,查P288 的附表1 可得 P X 7=0.11905 0.01P X 8=0.003803 0.01,#,所以，至少需要配备8 个修理工人.,
