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1、平面向量的正交分解及坐标表示,复习,平面向量基本定理,a=1 e1+2 e2,复习,G=F1+F2,G=F1+F2叫做重力G的分解,新课引入,G与F1,F2有什么关系?,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解,若两个不共线向量互相垂直时,在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标,向量的坐标表示,i=j=0=,(1
2、,0)(0,1)(0,0),a=(x,y),（一）,a,相等的向量坐标相同,能说出向量b的坐标吗?,A,如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。,(x,y),因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。,向量的坐标与点的坐标关系,例1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.,解：,同理，b=-2i+3j=(-2,3),c=-2i-3j=(-2,-3),d=2i-3j=(2,-3),a=(2,3),已知，求 的坐标.,O,x,y,B(x2,y2),A(x1,y1),结论1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终
3、点的坐标减去始点的坐标。,总结:对向量坐标表示的理解:,(1)任一平面向量都有唯一的坐标;,(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.,(3)相等的向量有相等的坐标.,练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.,解：,（二）平面向量的坐标运算：,结论2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.,结论3：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.,例3,、（2008辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且，则顶点D的坐标为（）,A.（2，）B.（2，）C.（3，2）D.（1，3
4、）,A,解析：,例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。,x,y,O,A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),D(x,y),例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.,变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。,A,B,C,解：当平行四边形为ADCB时，由 得D1=(2,2),当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6),当平行四边形为DACB时，得D3=(6,0),课堂小结
5、:,1.向量的坐标的概念:,2.对向量坐标表示的理解:,3.平面向量的坐标运算:,(1)任一平面向量都有唯一的坐标;,(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；,(3)相等的向量有相等的坐标.,4.能初步运用向量解决平面几何问题:,“向量”的思想,2.若将向量 围绕原点按逆时针方向旋转 得到向量，则 的坐标为（）.,1.若向量=（1，-2）的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是,（-1，2）,4.已知A、B的坐标分别为，与 平行的向量的坐标可以是_.（填写正确的序号）,3.已知点A(8,2)，点B(3,5)，将 沿x轴向左平移5个单位得到向量，则,；,；,；,5.如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：,（1）,（2）若用 来表示，则：,1,1,5,3,5,4,7,（3）向量 能否由 表示出来？可以的话，如何表示？,随堂练习二,B,A、x=1,y=3 B、x=3,y=1C、x=1,y=-3 D、x=5,y=-1,B,C,B,B,A,小结,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示,
