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1、2.平面应力状态主应力的计算公式,1.斜面上应力公式：,复习,最大最小主应力,最大最小剪应力,3.几何方程,刚体位移,形变和位移之间的关系：位移确定，形变完全确定；形变确定，位移不完全确定。,4.物理方程,平面应力问题,平面应变问题,2-6 边界条件,边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间 的关系，是力学计算模型建立的重 要环节。边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。,边界分类：,（1）位移边界,三类边界,1.位移边界条件位移分量已知的边界 位移边界。,平面问题的位移边界条件,说明：当u=v=0时,称为固定位移边界。,（2）应力边界,（3）混合边界,用 表示边界上的位移分量，u,v 表
2、示弹性体位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,(a),位移边界条件的说明：它是函数方程，要求在 上每一点s，弹性体位移与对应的约束位移相等。若为简单的固定边，u=v=0,则有（在 上）。它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。,(b),设在 上给定面力分量,2.应力边界条件,在2-3中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，,将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件：,（在 上）,(c),(d),此式表示了弹性体边界上内力于外力之间的平衡关系。,应力边界条件的说明：它是边界上微分体的静力平衡条件；它是函数方程，要求在边界上每
3、 一点s上均满足，这是精确的条件；式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界 s上成立；,式（d）中，x,y,xy 按应力符号规定，f x、f y 按面力符号规定；位移、应力边界条件均为每个边界两个，分别表示 x、y 方向的条件；所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）f x=f y=0,也必须满足。,(e),当边界面为坐标面时，若x=a为正x 面，l=1,m=0,则式(d)成为,若x=-b为负x 面，l=-1,m=0,则式(d)成为,(f),应力边界条件的两种表达式：在边界点取出微分体，考虑其平衡条件，得出应力边界条件；在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相等，方向一致）
4、。即在同一边界面上,应力数值应等于面 力数值(给定),应力方向应同面力方向。,例 如：在斜面上，在 坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故表达式有区别。平行于边界面的正应力，它的边界值 与面力分量并不直接相关。,例 1 列出边界条件：,y,例2 列出边界条件：,3.混合边界条件 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。,例3,列出x=a 的边界条件：,x=a,(u)x=a=0,(xy)x=a=0.,思考题：试写出如下几个问题的边界条件。,1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q 作用，试列出应力边界条件，(思考题图中
5、（a）)。2、证明在无面力作用的0A边上，y不等于零（思考题图中(b)）。3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（思考题图中(c)）。,4、试导出在无面力作用时，AB边界上的x,y,xy 之间的关系。（思考题图中（d）。5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边 界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同。,2-7 圣维南原理及其应用,弹力问题是微分方程的边值问题。应力、位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。,1.静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力
6、系。,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,2.圣维南原理,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。,圣维南原理的说明：1、圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；2、静力等效 指两者主矢量相同，对同一点 主矩也相同；3、近处 指面力变换范围的一、二倍的局部 区域；4、远处 指“近处”之外。,例1,比较下列问题的应力解答：,圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力 等效变换后，只影响近处（局部区域）的
7、应力，对 绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的 面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而 远处的应力可以不计。,例2,比较下列问题的应力解答：,3.圣维南原理的应用,(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的 分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边 界上不能使用。,圣维南原理在小边界上的应用：如图，考虑 x=l 小边界，精确的应力边界条件,(a),在同一边界 x=l上，,上式是函数方程，要求在边界
8、上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。,圣维南原理的应用积分的应力边界条件 在小边界 x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界 x=l 上，,应力的主矢量(Fx,Fy)=,数值相等,方向一致,(b),面力的主矢量（给定)应力的主矩(M)=面力的主矩（给定）,具体列出三个积分的条件：,右端面力的主矢量、主矩的数值及方向，均已给定；右端应力的主矢量、主矩的数值及方向应与右端面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。,(c),即：应力的主矢量、主矩的数值=面力的主矢量、主矩的数值；应力的主矢量、主矩的方向=面力的主矢量、主矩的方向。式中，应力主矢量、主矩的正方向的正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向为，即（正应力）（正的矩臂）的方向。,讨论：1.如果只给出面力的主矢量、主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量、主矩；2.在负x 面，x=l，由于应力、面力的符号规定不同，应在 式(c)中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。,比较：精确的应力边界条件 积分的应力边界条件,思考题1、为什么在大边界（主要边界）上，不能应用圣维南原理？2、试列出负x 面上积分的应力边界条件，设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。,
