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1、20140107,拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表,拉普拉斯变换 系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。,2.数学模型与传递函数,频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。,复数和复变函数 复数的概念 复数 s=+j（有一个实部 和一个虚部，和 均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。,2.2 拉普拉斯变换,称为虚数单位,复数的表示法 对于复数 s=+j 复平面：以 为横坐标(实轴)、为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或s平
2、面。复数 s=+j 可在复平面s中用点(,)表示：一个复数对应于复平面上的一个点。,2.2.1 复数和复变函数,复数的向量表示法 复数 s=+j 可以用从原点指向点(,)的向量表示。向量的长度称为复数的模：,2.2.1 复数和复变函数,向量与 轴的夹角 称为复数s的复角：,复数的三角函数表示法与指数表示法 根据复平面的图示可得：=r cos，=r sin 复数的三角函数表示法：s=r(cos+j sin),2.2.1 复数和复变函数,欧拉公式：,复数的指数表示法：,复变函数、极点与零点的概念 以复数s=+j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：G(s)=u+jv式中：u、v 分别为复变函数的
3、实部和虚部。,2.2.1 复数和复变函数,当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的 零点；,通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。,当复变函数表示成,(b)当s=-pj时，G(s)，则sj=-pj称为G(s)的 极点。,例：当s=+j时，求复变函数G(s)=s2+1的实部u和虚部v。,2.2.1 复数和复变函数,复变函数的实部,复变函数的虚部,解：G(s)s2+1(+j)2+1 2+j(2)-2+1(2-2+1)+j(2),拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点
4、是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。,2.2 拉普拉斯变换,复变量,原函数,象函数,拉氏变换符号,拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数 F(t)。,设有时间函数 f(t)，当 t 0 时，f(t)0；在 t0时定义函数 f(t)的拉普拉斯变换为：,拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件：当t0时，f(t)分段连续，只有有限个间断点；当t 时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即,2.2.2 拉普拉斯变换的定义,在复平面上，对于Res a的所有复数s(R
5、es表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res a是拉普拉斯变换的定义域，a称为收敛坐标。,式中：M、a为实常数。,典型时间函数的拉普拉斯变换(1)单位阶跃函数 单位阶跃函数定义：,2.2 拉普拉斯变换,(2)单位脉冲函数 单位脉冲函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,且：,(3)单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,(4)指数函数 指数函数表达式：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,式中：a是常数。,(5)正弦信号函数 正弦信号函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，正弦函数表达为：,(6)余弦信号
6、函数 余弦信号函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，余弦函数表达为：,拉普拉斯变换的基本性质(1)线性定理 若、是任意两个复常数，且：,2.2 拉普拉斯变换,证明：,(2)平移定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,证明：,则：,(3)微分定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,证明：,则：,f(0)是 t=0 时的 f(t)值,同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：,(3)微分定理 推广到n阶导数的拉普拉斯变换：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,如果：函数 f(t)及其各阶导数的初始值均为零，即,则：,(4)积分定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的
7、基本性质,则：,证明：,(4)积分定理 同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,若：函数 f(t)各重积分的初始值均为零，则有,注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。,(5)终值定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有,写出左式积分,(6)初值定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有,或者,拉普拉斯反变换(1)拉普拉斯反变换的定义 将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉
8、斯反变换。其公式：,2.2 拉普拉斯变换,拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法。,如果把 f(t)的拉氏变换 F(s)分成各个部分之和，即,2.2.5 拉普拉斯反变换,假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么,当 F(s)不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将 F(s)分解成各个部分之和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s)的拉氏反变换 f(t)函数。,(2)部分分式展开法 在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：,2.2.5 拉普
9、拉斯反变换,式中A(s)和B(s)是s的多项式，B(s)的阶次较A(s)阶次要高。,对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母 B(s)应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s)的拉氏反变换函数。,拉普拉斯反变换,由象函数求原函数的方法：,(1)利用公式,(2)对F(S)进行部分分式展开,象函数的一般形式：,利用部分分式F(S)分解为：,例13-6,解：令D(s)=0，则 s1=0，s2=2，s3=5,K1、k2也是一对共轭复根,小结：,1.)n=m 时将F(S)化成真分式,1.由F(S)求f(t)的步骤,2.)求真分式分母的根，确定分解单元,3.)求各部分分式的系数,4.)
10、对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。,2.拉氏变换法分析电路,正变换,反变换,相量形式KCL、KVL,元件 复阻抗、复导纳,运算电路,类似地,元件 运算阻抗、运算导纳,运算形式KCL、KVL,2.电路元件的运算形式,R：,u=Ri,1.运算形式的电路定律,L:,C:,运算阻抗,运算形式欧姆定理,运算阻抗,3.运算电路,运算电路,如 L、C 有初值时，初值应考虑为附加电源,物理量用象函数表示元件用运算形式表示,拉普拉斯变换法分析电路,步骤：,1.由换路前电路计算uc(0-),iL(0-),2.画运算电路图,3.应用电路分析方法求象函数,4.反变换求原函数,t=0时闭合k,求iL，uL。,V,
11、(2)画运算电路,(4)反变换求原函数,求UL(S),?,例13-10 求冲激响应,例13-11 图示电路已处于稳态，t=0时将开关S闭合，已知us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5,L1=1H,求t0时的uL(t).,例13-12 图示电路，已知R1=R2=1，L1=L2=0.1H，M=0.5H，us=1V，试求：t=0时开关闭合后的电流i1(t)和i2(t)。,t=0时打开开关k,求电流 i.,小结：,运算法分析动态电路的步骤,1.由换路前电路计算uc(0-),iL(0-)。,2.画运算电路图,3.应用电路分析方法求象函数。,4.反变换求原函数。,磁链守恒：,拉普拉斯变换简表,拉普拉斯变换简表(续1),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续2),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续3),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续4),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续5),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,
