《[课件]概率与统计7.2估计量的优良性准则.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[课件]概率与统计7.2估计量的优良性准则.ppt（29页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、Sep-23,7.2 估计量的优良性准则,在众多的估计量中选哪一个更好？选取的标准是什么？,如 XU(0,q),q 的矩法估计量为，,对于总体的参数，可用各种不同的方法去估计它，因此一个参数的估计量不唯一.,三个常用准则：无偏性、有效性、相合性.,极大似然估计量为,Sep-23,1.无偏性,q,定义7.2.1 若参数的估计量对一切 n 及，有,称 为的无偏估计量.若,则称 为的渐进无偏估计量.,Sep-23,若的实函数 g()的无偏估计量存在，称g()是可估计函数.,注,反例,样本均值是总体均值E(X)的无偏估计量.,S2 是2 的无偏估计,Sep-23,注意：,Sep-23,2.有效性,思考
2、：已知总体X的样本X1,X2,X3,下列估计量是否为总体均值m 的无偏估计量？哪个更好？,参数的无偏估计量不惟一.,无偏估计只能保证估计无系统误差：,Sep-23,希望的取值在及其附近越密集越好，,其方差应尽量小.,都是未知参数的无偏估计量,若,定义7.2.2,Sep-23,称 为的最小方差无偏估计量.,设 是的无偏估计，如果对的任何一个无偏估计量 都有,证明无偏性判断有效性(1),和S2 分别是m 和 s2 的最小方差无偏估计,证明无偏性判断有效性(2),Sep-23,3.相合性,无偏性：反映估计量相对待估参数有无系统偏差.,有效性：在无偏类中反映估计量相对待估参数的偏离程度.,问题：在“偏
3、差性”和“离散性”两者兼顾的原则下建立估计量为“最优”准则.,例7.2.5,Sep-23,7.2.3定义 设 是未知参数的估计量，若对任意的0，有,则称 为的相合估计量.,相合估计量的证明(1),相合估计量的证明(2),Sep-23,是的相合估计量;S2 和M2 都是2的相合估计量.,部分证明,Sep-23,例7.2.1 设总体的方差 D(X)=2 0，有,#,Sep-23,证明 S2 是2 的无偏估计量,例7.2.2 设总体的方差 D(X)=2 0，则样本方差S2 是2的无偏估计.,证,Sep-23,#,Sep-23,例7.2.3 设总体XU0,0 未知,(X1，X2，X3)是取自X的一个样
4、本,试证,都是的无偏估计；,2)上述两个估计量中哪个的方差最小？,分析：要判断估计量是否是无偏估计量，需要计算统计量的数学期望.,Sep-23,证 1)先求X与Y 的概率密度函数，,已知分布函数,Sep-23,Sep-23,Sep-23,2),#,Sep-23,例7.2.4 证明,是无偏估计量，是其中最有效估计量.,证,利用拉格朗日乘数法求条件极值，令,Sep-23,从联立方程组,解得，,Sep-23,即函数,的最小值点是,#,Sep-23,例7.2.5 设XU(0,),的矩法估计量为，极大似然估计量为.,有偏估计量,Sep-23,#,Sep-23,分析 1)证明相合性常用到切比雪夫不等式;2
5、)这里计算方差较难,可以先化为2 分布,再利用卡方分布的性质计算.,例7.2.6 设 XN(0,2),证明 是2 的相合估计量.,证,Sep-23,由切比雪夫不等式，有,Sep-23,#,是2 的相合估计量.,Sep-23,例7.2.7 设总体X的k阶原点矩E(Xk)存在,证明样k阶原点矩 是其无偏、相合估计量.,证 样本构成的随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立同分布，,服从辛钦大数定理，对任给的0，有,Sep-23,#,Sep-23,例7.2.8 设总体X的数学期望存在,估计量,是=E(X)的无偏、相合估计量.,证 样本构成的随机变量序列X1，X2，Xn,相互独立同分布，服从切比雪夫大数定理，对任给的0，有,即 为E(X)的相合估计量.,#,
